Selv om både Descartes og Fermat foreslog at bruge tre koordinater til at studere kurver og overflader i rummet, udviklede den tredimensionelle analytiske geometri sig langsomt indtil omkring 1730, hvor de schweiziske matematikere Leonhard Euler og Jakob Hermann og den franske matematiker Alexis Clairaut udarbejdede generelle ligninger for cylindre, kegler og omdrejningsflader. Euler og Hermann viste f.eks., at ligningen f(z) = x2 + y2 giver den overflade, der fremkommer ved at dreje kurven f(z) = x2 om z-aksen (se figuren, der viser den elliptiske paraboloide z = x2 + y2).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Newton fremsatte den bemærkelsesværdige påstand, at alle plane kubikker opstår fra dem i hans tredje standardform ved projektion mellem planerne. Dette blev uafhængigt af hinanden bevist i 1731 af Clairaut og den franske matematiker François Nicole. Clairaut fik alle kubikkerne i Newtons fire standardformer som sektioner af kubikken conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 bestående af de linjer i rummet, der forbinder oprindelsen (0, 0, 0, 0) med punkterne på den tredje standardkubik i planen z = 1.
I 1748 brugte Euler ligninger for rotationer og translokationer i rummet til at transformere den generelle kvadratiske fladeax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0, således at dens hovedakser falder sammen med koordinatakserne. Euler og de franske matematikere Joseph-Louis Lagrange og Gaspard Monge gjorde den analytiske geometri uafhængig af den syntetiske (ikke-analytiske) geometri.
Vektoranalyse
I et euklidisk rum af en hvilken som helst dimension kan vektorer – rettede linjestykker – angives ved hjælp af koordinater. En n-tupel (a1, …, an) repræsenterer den vektor i det n-dimensionelle rum, der projicerer på de reelle tal a1, …, an på koordinatakserne.
I 1843 repræsenterede den irske matematiker-astronom William Rowan Hamilton firedimensionelle vektorer algebraisk og opfandt kvaternionerne, den første ikke-kommutative algebra, der blev studeret i stor udstrækning. Multiplikation af quaternioner med et koordinatnul førte Hamilton til at opdage grundlæggende operationer på vektorer. Ikke desto mindre fandt matematiske fysikere den notation, der anvendes i vektoranalyse, mere fleksibel – især fordi den let kan udvides til uendeligt dimensionelle rum. Kvaternionerne var fortsat af algebraisk interesse og blev i 1960’erne indarbejdet i visse nye partikelfysikmodeller.
Projektioner
Da den lettilgængelige computerkraft voksede eksponentielt i de sidste årtier af det 20. århundrede, blev computeranimation og computerstøttet design allestedsnærværende. Disse applikationer er baseret på tredimensional analytisk geometri. Koordinater anvendes til at bestemme de kanter eller parametriske kurver, der danner grænserne for overfladerne af virtuelle objekter. Vektoranalyse anvendes til at modellere belysning og bestemme realistiske skygger af overflader.
Så tidligt som i 1850 havde Julius Plücker forenet analytisk og projektiv geometri ved at indføre homogene koordinater, der repræsenterer punkter i det euklidiske plan (se euklidisk geometri) og i uendelighed på en ensartet måde som tripler. Projektive transformationer, som er invertible lineære ændringer af homogene koordinater, er givet ved matrixmultiplikation. Dette gør det muligt for computergrafikprogrammer effektivt at ændre formen eller synet af afbildede objekter og projicere dem fra det tredimensionelle virtuelle rum til den todimensionelle visningsskærm.
Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza