Banach-rum

Lineære operatorer, isomorphismerRediger

Hvis X og Y er normerede rum over det samme grundfelt K, betegnes mængden af alle kontinuerlige K-lineære kort T : X → Y med B(X, Y). I uendelig-dimensionelle rum er ikke alle lineære kort kontinuerlige. En lineær afbildning fra et normeret rum X til et andet normeret rum er kontinuert, hvis og kun hvis den er afgrænset på den lukkede enhedskugle i X. Vektorrummet B(X, Y) kan således gives operatoren norm

‖ T ‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ≤ 1 } . {\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\\|x\|_{X}\leq 1\right\}.}

For Y et Banach-rum, er rummet B(X, Y) et Banach-rum med hensyn til denne norm.

Hvis X er et Banach-rum, danner rummet B(X) = B(X, X) en unital Banach-algebra; multiplikationsoperationen er givet ved kompositionen af lineære kort.

Hvis X og Y er normede rum, er de isomorfe normede rum, hvis der findes en lineær bijeksion T : X → Y, således at T og dens inverse T -1 er kontinuerte. Hvis et af de to rum X eller Y er komplet (eller refleksivt, separabelt osv.), så er det andet rum det også. To normerede rum X og Y er isometrisk isomorfe, hvis T desuden er en isometri, dvs, ||T(x)|| = ||x|| for ethvert x i X. Banach-Mazur-afstanden d(X, Y) mellem to isomorfe, men ikke isometriske rum X og Y giver et mål for, hvor meget de to rum X og Y adskiller sig fra hinanden.

Grundlæggende begreberRediger

Det kartesiske produkt X × Y af to normede rum er ikke kanonisk udstyret med en norm. Flere ækvivalente normer er dog almindeligt anvendt, såsom

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}

og giver anledning til isomorfe normede rum. I denne forstand er produktet X × Y (eller den direkte sum X ⊕ Y) komplet, hvis og kun hvis de to faktorer er komplette.

Hvis M er et lukket lineært underrum af et normeret rum X, er der en naturlig norm på det kvotente rum X / M,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\i M}\|x+m\|.}

Kvotienten X / M er et Banach-rum, når X er komplet. Kvotienten map fra X til X / M, der sender x i X til sin klasse x + M, er lineær, onto og har norm 1, undtagen når M = X, i hvilket tilfælde kvotienten er nulrummet.

Det lukkede lineære underrum M af X siges at være et komplementeret underrum af X, hvis M er området for en afgrænset lineær projektion P fra X til M. I dette tilfælde er rummet X isomorft til den direkte sum af M og Ker(P), kernen af projektionen P.

Sæt, at X og Y er Banach-rum, og at T ∈ B(X, Y). Der findes en kanonisk faktorisering af T som

T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ \ T:X\\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}}\ X/\operatornavn {Ker} (T)\ {\overset {T_{1}}}{\longrightarrow }}\\ Y}

hvor det første kort π er kvotientkortet, og det andet kort T1 sender hver klasse x + Ker(T) i kvotienten til billedet T(x) i Y. Dette er veldefineret, fordi alle elementer i samme klasse har det samme billede. Afbildningen T1 er en lineær bijektion fra X / Ker(T) til området T(X), hvis inverse ikke behøver at være afgrænset.

Klassiske rumRediger

Basiseksempler på Banach-rum omfatter: Lp-rummene og deres specialtilfælde, sekvensrummene ℓp, der består af skalariske sekvenser indekseret med N; blandt disse er rummet ℓ1 af absolut summable sekvenser og rummet ℓ2 af kvadratisk summable sekvenser; rummet c0 af sekvenser med tendens til nul og rummet ℓ∞ af afgrænsede sekvenser; rummet C(K) af kontinuerte skalare funktioner på et kompakt Hausdorff-rum K, der er udstyret med max-norm,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . {\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\kvad f\in C(K).}

I henhold til Banach-Mazur-sætningen er ethvert Banach-rum isometrisk isomorft til et underrum af et vist C(K). For ethvert separabelt Banach-rum X findes der et lukket underrum M af ℓ1 således at X ≅ ℓ1/M.

Alle Hilbert-rum tjener som eksempel på et Banach-rum. Et Hilbert-rum H på K = R, C er komplet for en norm af formen

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}

hvor

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K} }

er det indre produkt, lineært i sit første argument, der opfylder følgende:

∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\forall x,y\i H:\quad \langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\\\forall x\i H:\quad \langle x,x\rangle &\geq 0,\\\langle x,x\rangle =0\Linkstrekantpile x&=0.\end{aligned}}}

For eksempel er rummet L2 et Hilbert-rum.

Hardy-rummene, Sobolev-rummene er eksempler på Banach-rum, der er beslægtede med Lp-rummene og har yderligere struktur. De er vigtige i forskellige grene af analyse, harmonisk analyse og partielle differentialligninger blandt andet.

Banach-algebraerRediger

En Banach-algebra er et Banach-rum A over K = R eller C, sammen med en struktur af algebra over K, således at produktkortet A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A er kontinuert. Der kan findes en tilsvarende norm på A, således at ||ab|| ≤ ||a|| ||b|| for alle a, b ∈ A.

EksemplerRediger

• Banach-rummet C(K) med det punktvise produkt er en Banach-algebra.
• Diskalgebraen A(D) består af funktioner, der er holomorfe i den åbne enhedsdisk D ⊂ C og kontinuerte på dens lukning: D. Udstyret med max-normen på D er diskalgebraen A(D) en lukket underalgebra til C(D).
• Wiener-algebraen A(T) er algebraen af funktioner på enhedscirklen T med absolut konvergente Fourier-serier. Via det kort, der knytter en funktion på T til sekvensen af dens Fourierkoefficienter, er denne algebra isomorfi til Banach-algebraen ℓ1(Z), hvor produktet er konvolutionen af sekvenser.
• For ethvert Banach-rum X er rummet B(X) af afgrænsede lineære operatorer på X, med kompositionen af kort som produkt, en Banach-algebra.
• En C*-algebra er en kompleks Banach-algebra A med en antilineær involution a ↦ a∗ sådan at ||a∗a||| = ||a|||2. Rummet B(H) af afgrænsede lineære operatører på et Hilbert-rum H er et grundlæggende eksempel på C*-algebra. Gelfand-Naimark-sætningen siger, at enhver C*-algebra er isometrisk isomorfi til en C*-subalgebra af en vis B(H). Rummet C(K) af komplekse kontinuerte funktioner på et kompakt Hausdorff-rum K er et eksempel på kommutativ C*-algebra, hvor involutionen knytter til enhver funktion f dens komplekse konjugerede f .

Dual spaceEdit

Hvis X er et normeret rum og K det underliggende felt (enten de reelle eller de komplekse tal), er det kontinuerlige dualrum rummet af kontinuerlige lineære kort fra X til K, eller kontinuerlige lineære funktionaler. Notationen for det kontinuerlige dualrum er X ′ = B(X, K) i denne artikel. Da K er et Banach-rum (med den absolutte værdi som norm), er dual X ′ et Banach-rum for ethvert normeret rum X.

Det vigtigste redskab til at bevise eksistensen af kontinuerte lineære funktionaler er Hahn-Banach-sætningen.

Hahn-Banach-sætningen. Lad X være et vektorrum over feltet K = R, C. Lad endvidere

• Y ⊆ X være et lineært underrum,
• p : X → R være en sublineær funktion og
• f : Y → K være en lineær funktionel, således at Re( f (y))) ≤ p(y) for alle y i Y.

Så findes der en lineær funktionel F : X → K, således at F | Y = f , og ∀ x ∈ X , Re ( F ( x )) ≤ p ( x ) . {\displaystyle F|_{Y}=f,\quad {\text{and}}}\quad \forall x\i X,\ \ \ \operatornavn {Re} (F(x))\leq p(x).}

I særdeleshed kan enhver kontinuerlig lineær funktionel på et underrum af et normeret rum udvides kontinuerligt til hele rummet, uden at funktionelens norm øges. Et vigtigt specialtilfælde er følgende: For enhver vektor x i et normeret rum X findes der en kontinuerlig lineær funktionel f på X, således at

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X’}\leq 1.}

Når x ikke er lig med 0-vektoren, skal funktionen f have norm et, og kaldes en normfunktionel for x.

Hahn-Banach-separationssætningen fastslår, at to disjunkte ikke-tomme konvekse mængder i et reelt Banach-rum, hvoraf den ene er åben, kan adskilles af en lukket affin hyperplan. Det åbne konvekse sæt ligger strengt på den ene side af hyperplanet, det andet konvekse sæt ligger på den anden side, men kan berøre hyperplanet.

En delmængde S i et Banach-rum X er total, hvis den lineære spændvidde af S er tæt i X. Delmængden S er total i X, hvis og kun hvis den eneste kontinuerte lineære funktion, der forsvinder på S, er 0-funktionen: denne ækvivalens følger af Hahn-Banach-sætningen.

Hvis X er den direkte sum af to lukkede lineære underrum M og N, så er dual X ′ af X isomorft til den direkte sum af dualerne af M og N. Hvis M er et lukket lineært underrum i X, kan man tilknytte ortogonalet til M i dualet,

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . {\displaystyle M^{\perp }=\left\{x’\i X’:x'(m)=0,\for alle m\i M\right\}.}

Det ortogonale M ⊥ er et lukket lineært underrum til det dobbelte. Dualet af M er isometrisk isomorft til X ′ / M ⊥. Dualet af X / M er isometrisk isomorft til M ⊥.

Den duale af et separabelt Banach-rum behøver ikke at være separabelt, men:

Sætning. Lad X være et normeret rum. Hvis X ′ er separabel, så er X separabel.

Når X ′ er separabel, kan ovenstående kriterium for totalitet bruges til at bevise eksistensen af en tællelig total delmængde i X.

Svage topologierRediger

Den svage topologi på et Banach-rum X er den groveste topologi på X, for hvilken alle elementer x ′ i det kontinuerte duale rum X ′ er kontinuerte. Normtopologien er derfor finere end den svage topologi. Det følger af Hahn-Banach-separationsteoremet, at den svage topologi er Hausdorff, og at en normlukket konveks delmængde af et Banach-rum også er svagt lukket. Et normkontinuerligt lineært kort mellem to Banach-rum X og Y er også svagt kontinuert, dvs. kontinuert fra den svage topologi i X til den svage topologi i Y.

Hvis X er uendelig-dimensionelt, findes der lineære kort, som ikke er kontinuerte. Rummet X∗ af alle lineære kort fra X til det underliggende felt K (dette rum X∗ kaldes det algebraiske dualrum for at skelne det fra X ′) inducerer også en topologi på X, som er finere end den svage topologi og meget mindre anvendt i funktionel analyse.

På et dualrum X ′ findes der en topologi, der er svagere end den svage topologi for X ′, kaldet svag*-topologi. Det er den groveste topologi på X ′, for hvilken alle evalueringsmapper x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, er kontinuert. Dens betydning stammer fra Banach-Alaoglu-sætningen.

Banach-Alaoglu-sætningen. Lad X være et normeret vektorrum. Så er den lukkede enhedskugle B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′|| ≤ 1} af det dobbelte rum er kompakt i den svage* topologi.

Banach-Alaoglu-sætningen afhænger af Tychonoffs sætning om uendelige produkter af kompakte rum. Når X er separabel, er enhedskuglen B ′ af dualrummet en metrizable kompakt i den svage* topologi.

Eksempler på duale rumRediger

Den duale af c0 er isometrisk isomorfi til ℓ1: for enhver afgrænset lineær funktionel f på c0 er der et unikt element y = {yn} ∈ ℓ1 således, at

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , og ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\i c_{0},\ \\ {\text{og}}}\ \\|f\|_{(c_{0})’}=\|y\|_{\ell _{1}}}.}

Den dobbelte af ℓ1 er isometrisk isomorfi til ℓ∞. Dualet af Lp() er isometrisk isomorft til Lq(), når 1 ≤ p < ∞ og 1/p + 1/q = 1.

For enhver vektor y i et Hilbert-rum H er afbildningen

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\in H\til f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }

definerer en kontinuert lineær funktionel fy på H. Riesz-repræsentationssætningen siger, at enhver kontinuert lineær funktionel på H er af formen fy for en entydigt defineret vektor y i H. Afbildningen y ∈ H → fy er en antilinear isometrisk bijeksion fra H til dens dual H ′. Når skalarerne er reelle, er dette kort en isometrisk isomorfi.

Når K er et kompakt Hausdorff-topologisk rum, er dual M(K) af C(K) rummet af Radon-foranstaltninger i Bourbakis forstand. Delmængden P(K) af M(K), der består af ikke-negative foranstaltninger med masse 1 (sandsynlighedsforanstaltninger), er en konveks w*-lukket delmængde af enhedskuglen i M(K). De ekstreme punkter af P(K) er Dirac-foranstaltningerne på K. Mængden af Dirac-foranstaltninger på K, udstyret med w*-topologien, er homøomorf til K.

Banach-Stone Theorem. Hvis K og L er kompakte Hausdorff-rum, og hvis C(K) og C(L) er isometrisk isomorfe, så er de topologiske rum K og L homøomorfe.

Resultatet er blevet udvidet af Amir og Cambern til at omfatte det tilfælde, hvor den multiplikative Banach-Mazur-afstand mellem C(K) og C(L) er < 2. Sætningen er ikke længere sand, når afstanden er = 2.

I den kommutative Banach-algebra C(K) er de maksimale idealer netop kerner af Dirac-målinger på K,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . {\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\i C(K):f(x)=0\},\kvad x\i K.}

Mere generelt kan de maksimale idealer i en unital kommutativ Banach-algebra ved hjælp af Gelfand-Mazur-sætningen identificeres med dens karakterer – ikke blot som mængder, men som topologiske rum: førstnævnte med hull-kernel-topologien og sidstnævnte med w*-topologien. I denne identifikation kan det maksimale idealrum betragtes som en w*-kompakt delmængde af enhedskuglen i den dobbelte A ′.

Sætning. Hvis K er et kompakt Hausdorff-rum, er det maksimale idealrum Ξ for Banach-algebraen C(K) homøomorf til K.

Det er ikke alle unitale kommutative Banach-algebraer, der er af formen C(K) for et eller andet kompakt Hausdorff-rum K. Denne påstand holder dog, hvis man placerer C(K) i den mindre kategori af kommutative C*-algebraer. Gelfands repræsentationsteorem for kommutative C*-algebraer siger, at enhver kommutativ unital C*-algebra A er isometrisk isomorfi til et C(K)-rum. Det Hausdorff-kompakte rum K er her igen det maksimale idealrum, også kaldet A’s spektrum i C*-algebra-sammenhæng.

BidualEdit

Hvis X er et normeret rum, kaldes den (kontinuerlige) dual X ′′′ af dual X ′ for bidual, eller anden dual af X. For ethvert normeret rum X findes der et naturligt kort,

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\til X”\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\for alle x\i X,\for alle f\i X’\end{cases}}}

Dette definerer FX(x) som en kontinuerlig lineær funktionel på X ′, dvs. et element af X ′′′. Kortet FX : x → FX(x) er et lineært kort fra X til X ′′′. Som følge af eksistensen af en normfunktionel f for ethvert x i X er dette kort FX isometrisk, altså injektivt.

For eksempel er dual af X = c0 identificeret med ℓ1, og dual af ℓ1 er identificeret med ℓ∞, rummet af afgrænsede skalariske sekvenser. Under disse identifikationer er FX inklusionskortet fra c0 til ℓ∞. Det er ganske vist isometrisk, men ikke onto.

Hvis FX er surjektiv, kaldes det normerede rum X for refleksivt (se nedenfor). Da det er dual af et normeret rum, er det tosidige X ′′ komplet, og derfor er ethvert refleksivt normeret rum et Banach-rum.

Ved anvendelse af den isometriske indlejring FX er det sædvanligt at betragte et normeret rum X som en delmængde af dets tosidige rum. Når X er et Banach-rum, betragtes det som et lukket lineært underrum af X ′′′. Hvis X ikke er refleksivt, er enhedskuglen i X en egentlig delmængde af enhedskuglen i X ′′′. Goldstine-sætningen fastslår, at enhedskuglen i et normeret rum er svagt*-tæt i enhedskuglen i bidual. Med andre ord findes der for ethvert x ′′′ i bidualet et net {xj} i X, således at

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {\displaystyle \sup _{j}\|x_{j}\|\leq \|x”\|,\ \ x”(f)=\lim _{j}f(x_{j}),\kvadrat f\i X’.}

Nettet kan erstattes af en svagt*-konvergent sekvens, når dual X ′ er separabel. På den anden side kan elementer i bidual af ℓ1, der ikke er i ℓ1, ikke være svagt*-konverterbare sekvenser i ℓ1, da ℓ1 er svagt sekventielt komplet.

Banachs sætningerRediger

Her er de vigtigste generelle resultater om Banach-rum, som går tilbage til tiden for Banachs bog (Banach (1932)) og er relateret til Baire-kategorisætningen. Ifølge denne sætning kan et fuldstændigt metrisk rum (f.eks. et Banach-rum, et Fréchet-rum eller et F-rum) ikke være lig med en union af tælleligt mange lukkede delmængder med tomme interiører. Derfor kan et Banach-rum ikke være en union af tælleligt mange lukkede underrum, medmindre det allerede er lig med et af dem; et Banach-rum med en tællelig Hamel-basis er endeligt dimensionelt.

Banach-Steinhaus-sætning. Lad X være et Banach-rum og Y være et normeret vektorrum. Antag, at F er en samling af kontinuerte lineære operatorer fra X til Y. Det ensartede afgrænsningsprincip siger, at hvis vi for alle x i X har supT∈F ||T(x)||Y < ∞, så supT∈F ||T|Y < ∞.

Banach-Steinhaus-sætningen er ikke begrænset til Banach-rum. Det kan f.eks. udvides til det tilfælde, hvor X er et Fréchet-rum, forudsat at konklusionen modificeres på følgende måde: Under samme hypotese findes der et kvarter U af 0 i X, således at alle T i F er ensartet afgrænsede på U,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {\displaystyle \sup _{T\i F}\sup _{x\i U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}

The Open Mapping Theorem. Lad X og Y være Banach-rum og T : X → Y være en surjektiv kontinuerlig lineær operatør, så er T et åbent kort. Følgesætning. Enhver en-til-en-bunden lineær operator fra et Banach-rum til et Banach-rum er en isomorfi. Den første isomorfisme-sætning for Banach-rum. Antag, at X og Y er Banach-rum, og at T ∈ B(X, Y). Antag endvidere, at T’s område er lukket i Y. Så er X/ Ker(T) isomorft til T(X).

Dette resultat er en direkte konsekvens af den foregående Banach-isomorfi-sætning og af den kanoniske faktorisering af afgrænsede lineære kort.

Konsekvens. Hvis et Banach-rum X er den interne direkte sum af lukkede underrum M1, …, Mn, så er X isomorft til M1 ⊕ … ⊕ Mn.

Dette er en anden konsekvens af Banachs isomorphisme-sætning, der anvendes på den kontinuerlige bijeksion fra M1 ⊕ … ⊕ Mn til X, der sender (m1, …, mn) til summen m1 + … + mn.

The Closed Graph Theorem. Lad T : X → Y være en lineær afbildning mellem Banach-rum. Grafen for T er lukket i X × Y, hvis og kun hvis T er kontinuert.

RefleksivitetRediger

Det normerede rum X kaldes refleksivt, når det naturlige kort

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\til X”\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\forall x\i X,\forall f\i X’\end{cases}}}

er surjektiv. Refleksive normerede rum er Banach-rum.

Sætning. Hvis X er et refleksivt Banach-rum, er ethvert lukket underrum af X og ethvert kvotienterum af X refleksivt.

Dette er en konsekvens af Hahn-Banach-sætningen. Endvidere er Y ifølge teoremet om åbne afbildninger refleksivt, hvis der findes en afgrænset lineær operatør fra Banach-rummet X til Banach-rummet Y.

Teorem. Hvis X er et Banach-rum, så er X refleksivt, hvis og kun hvis X ′ er refleksivt. Corollary. Lad X være et refleksivt Banach-rum. Så er X separabelt, hvis og kun hvis X ′ er separabelt.

Hvis det dobbelte Y ′ af et Banach-rum Y er separabelt, så er Y separabelt. Hvis X er refleksiv og separabel, så er dual af X ′ separabel, og X ′ er derfor separabel.

Sætning. Antag, at X1, …, Xn er normerede rum, og at X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Så er X refleksivt, hvis og kun hvis hvert Xj er refleksivt.

Hilbert-rum er refleksive. Lp-rummene er refleksive, når 1 < p < ∞. Mere generelt er ensartet konvekse rum refleksive i henhold til Milman-Pettis-sætningen. Rummene c0, ℓ1, L1(), C() er ikke refleksive. I disse eksempler på ikke-refleksive rum X er den tosidige X ′′′ “meget større” end X. Under den naturlige isometriske indlejring af X i X ′′′ givet ved Hahn-Banach-sætningen er kvotienten X ′′′ / X uendeligt dimensionel og endda ikke-separabel. Robert C. James har imidlertid konstrueret et eksempel på et ikke-refleksivt rum, som normalt kaldes “James-rummet” og betegnes med J, således at kvotienten J ′′ / J er endimensional. Endvidere er dette rum J isometrisk isomorft til sin bidual.

Teorem. Et Banach-rum X er refleksivt, hvis og kun hvis dets enhedskugle er kompakt i den svage topologi.

Når X er refleksivt, følger det, at alle lukkede og afgrænsede konvekse delmængder af X er svagt kompakte. I et Hilbert-rum H anvendes den svage kompakthed af enhedskuglen meget ofte på følgende måde: Enhver afgrænset sekvens i H har svagt konvergerende underfølger.

Svag kompakthed af enhedskuglen giver et værktøj til at finde løsninger i refleksive rum på visse optimeringsproblemer. For eksempel opnår enhver konveks kontinuert funktion på enhedskuglen B i et refleksivt rum sit minimum i et punkt i B.

Som et specialtilfælde af det foregående resultat, når X er et refleksivt rum over R, opnår enhver kontinuert lineær funktion f i X ′ sit maksimum || f || på enhedskuglen i X. Følgende sætning af Robert C. James giver et omvendt udsagn.

James’ sætning. For et Banach-rum er følgende to egenskaber ækvivalente:

• X er refleksiv.
• for alle f i X ′ findes der x i X med ||x|| ≤ 1, således at f (x) = || f ||.

Sætningen kan udvides til at give en karakterisering af svagt kompakte konvekse mængder.

På ethvert ikke-refleksivt Banach-rum X findes der kontinuerlige lineære funktionaler, der ikke er normgivende. Bishop-Phelps-sætningen fastslår imidlertid, at norm-attaining funktionaler er normtætte i dual X ′ af X.

Svage konvergenser af sekvenserRediger

En sekvens {xn} i et Banach-rum X er svagt konvergent til en vektor x ∈ X, hvis f (xn) konvergerer til f (x) for enhver kontinuerlig lineær funktional f i dual X ′. Sekvensen {xn} er en svagt Cauchy-sekvens, hvis f (xn) konvergerer til en skalargrænse L( f ) for enhver f i X ′. En sekvens { fn } i det duale X ′ er svagt* konvergent til en funktionel f ∈ X ′, hvis fn (x) konvergerer mod f (x) for ethvert x i X. Svagt Cauchy-sekvenser, svagt konvergente og svagt* konvergente sekvenser er normbundne som følge af Banach-Steinhaus-sætningen.

Når sekvensen {xn} i X er en svagt Cauchy-sekvens, definerer grænsen L ovenfor en afgrænset lineær funktionel på det dobbelte X ′, dvs, et element L i den toduale af X, og L er grænsen for {xn} i den svage*-topologi af den toduale. Banach-rummet X er svagt sekventielt komplet, hvis enhver svagt Cauchy-sekvens er svagt konvergent i X. Det følger af den foregående diskussion, at refleksive rum er svagt sekventielt komplette.

Teorem. For ethvert mål μ er rummet L1(μ) svagt sequentielt komplet.

En ortonormal sekvens i et Hilbert-rum er et simpelt eksempel på en svagt konvergent sekvens, hvis grænse er lig med 0-vektoren. Enhedsvektorbasen af ℓp, 1 < p < ∞, eller af c0, er et andet eksempel på en svagt null-sekvens, dvs. en sekvens, der konvergerer svagt mod 0. For enhver svagt null-sekvens i et Banach-rum findes der en sekvens af konvekse kombinationer af vektorer fra den givne sekvens, der er normkonvergerende mod 0.

Enhedsvektorbasen af ℓ1 er ikke svagt Cauchy-konvergerende. Svagt Cauchy-følger i ℓ1 er svagt konvergente, da L1-rum er svagt sekventielt fuldstændige. Faktisk er svagt konvergente sekvenser i ℓ1 normkonvergente. Det betyder, at ℓ1 opfylder Schurs egenskab.

Resultater, der involverer ℓ1-basenRediger

Svagt Cauchy-sekvenser og ℓ1-basen er de modsatte tilfælde af den dikotomi, der er etableret i det følgende dybe resultat af H. P. Rosenthal.

Sætning. Lad {xn} være en afgrænset sekvens i et Banach-rum. Enten har {xn} en svagt Cauchy-undersekvens, eller også tillader den en undersekvens, der svarer til standard-enhedsvektorbasen i ℓ1.

Et supplement til dette resultat skyldes Odell og Rosenthal (1975).

Theorem. Lad X være et separabelt Banach-rum. Følgende er ækvivalente:

• Rummet X indeholder ikke et lukket underrum, der er isomorft til ℓ1.
• Et hvert element i bidual X ′′′ er den svage*-grænse for en sekvens {xn} i X.

I henhold til Goldstine-sætningen er ethvert element i enhedskuglen B ′′′ af X ′′′ svag*-grænse for et net i enhedskuglen i X. Når X ikke indeholder ℓ1, er hvert element af B ′′′ svag*-grænse for en sekvens i X’s enhedskugle.

Når Banach-rummet X er separabelt, er enhedskuglen af det dobbelte X ′, udstyret med den svage*-topologi, et metrizable kompakt rum K, og hvert element x ′′′ i det dobbelte X ′′′ definerer en afgrænset funktion på K:

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . {\displaystyle x’\in K\mapsto x”'(x’),\quad \left|x”(x’)\right|\leq \left\|x”\right\|.}

Denne funktion er kontinuerlig for den kompakte topologi af K, hvis og kun hvis x ′′′ faktisk er i X, betragtet som delmængde af X ′′′. Antag i øvrigt for resten af afsnittet, at X ikke indeholder ℓ1. I henhold til det foregående resultat af Odell og Rosenthal er funktionen x ′′′ den punktvise grænse på K af en række {xn} ⊂ X af kontinuerte funktioner på K, og den er derfor en funktion af første Baire-klasse på K. Enhedskuglen af bidual er en punktvis kompakt delmængde af den første Baire-klasse på K.

Sekvenser, svag og svag* kompakthedRediger

Når X er separabelt, er enhedskuglen af den duale svagt*-kompakt ved Banach-Alaoglu og metrizable for den svage* topologi, hvorfor enhver afgrænset sekvens i den duale har svagt* konvergerende underfølger. Dette gælder for separable refleksive rum, men der gælder mere i dette tilfælde, som anført nedenfor.

Den svage topologi for et Banach-rum X er metrizable, hvis og kun hvis X er finit-dimensionelt. Hvis dual X ′ er separabel, er den svage topologi af X’s enhedskugle metrizable. Dette gælder især for separable refleksive Banach-rum. Selv om den svage topologi af enhedskuglen ikke er metrizable i almindelighed, kan man karakterisere svag kompakthed ved hjælp af sekvenser.

Eberlein-Šmulian theorem. En mængde A i et Banach-rum er relativt svagt kompakt, hvis og kun hvis enhver sekvens {an} i A har en svagt konvergerende undersekvens.

Et Banach-rum X er refleksivt, hvis og kun hvis hver afgrænset sekvens i X har en svagt konvergent undersekvens.

En svagt kompakt delmængde A i ℓ1 er normkompakt. Enhver sekvens i A har nemlig svagt konvergerende underfølger ved Eberlein-Šmulian, der er normkonvergente ved Schur-egenskaben i ℓ1.