Cantor-mængde

KardinalitetRediger

Det kan vises, at der er lige så mange punkter tilbage i denne proces, som der var til at begynde med, og at Cantor-mængden derfor er utællelig. For at se dette, viser vi, at der findes en funktion f fra Cantor-mængden C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

til det lukkede interval, der er surjektiv (dvs. f kortlægger fra C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

på ), således at kardinaliteten af C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

ikke er mindre end den af . Da C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

er en delmængde af , er dens kardinalitet heller ikke større, så de to kardinaliteter må i virkeligheden være lige store, ifølge Cantor-Bernstein-Schröder-sætningen.

For at konstruere denne funktion skal man betragte punkterne i intervallet i basis 3- (eller ternær) notation. Husk, at de egentlige ternære brøker, mere præcist: elementerne i ( Z ∖ { 0 } ) ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N}} _{0}}}

, tillader mere end én repræsentation i denne notation, som f.eks. 1/3, der kan skrives som 0,13 = 0,103, men også som 0,0222…3 = 0,023, og 2/3, der kan skrives som 0,23 = 0.203, men også som 0,1222…3 = 0,123. Når vi fjerner den midterste tredjedel, indeholder denne tallene med ternære tal af formen 0,1xxxxx…3, hvor xxxxx…3 er strengt mellem 00000…3 og 22222…3. De tal, der er tilbage efter det første trin, består altså af

• Tal af formen 0,0xxxxx…3 (herunder 0,02222222…3 = 1/3)
• Tal af formen 0,2xxxxx…3 (herunder 0,22222222….3 = 1)

Dette kan sammenfattes ved at sige, at de tal med en ternær repræsentation, således at det første ciffer efter radixpunktet ikke er 1, er de tal, der er tilbage efter det første trin.

Det andet trin fjerner tal af formen 0,01xxxx…3 og 0,21xxxx…3, og (med passende omhu for endepunkterne) kan det konkluderes, at de tilbageværende tal er de tal med en ternær repræsentation, hvor ingen af de to første cifre er 1.

Fortsætter man på denne måde, skal et tal, for ikke at blive udelukket på trin n, have en ternær repræsentation, hvis n-te ciffer ikke er 1. For at et tal skal være i Cantor-mængden, må det ikke være udelukket på noget trin, det skal have en talrepræsentation, der udelukkende består af 0’er og 2’ere.

Det er værd at understrege, at tal som 1, 1/3 = 0,13 og 7/9 = 0,213 er i Cantor-mængden, da de har ternære talrepræsentationer, der udelukkende består af 0’er og 2’ere: 1 = 0,222…3 = 0,23, 1/3 = 0,0222…3 = 0,023 og 7/9 = 0,20222…3 = 0,2023.Alle de sidstnævnte tal er “endepunkter”, og disse eksempler er højre grænsepunkter for C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

. Det samme gælder for de venstre grænsepunkter for C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

, f.eks. 2/3 = 0,1222…3 = 0,123 = 0,203 og 8/9 = 0,21222…3 = 0,2123 = 0,2203. Alle disse endepunkter er egentlige ternære brøker (elementer af Z ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}

) af formen p/q, hvor nævneren q er en potens af 3, når brøken er i sin irreducible form. Den ternære repræsentation af disse brøker afsluttes (dvs. er endelig) eller – husk fra ovenfor, at egentlige ternære brøker hver har 2 repræsentationer – er uendelig og “ender” i enten uendeligt mange tilbagevendende 0’er eller uendeligt mange tilbagevendende 2’er. En sådan brøk er et venstre grænsepunkt af C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

, hvis dens ternære repræsentation ikke indeholder nogen 1’er og “ender” i uendeligt mange tilbagevendende 0’er. På samme måde er en korrekt ternær brøk et højre grænsepunkt for C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

, hvis den igen dens ternære udvidelse ikke indeholder nogen 1’er og “ender” i uendeligt mange tilbagevendende 2’er.

Denne mængde af endepunkter er tæt i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

(men ikke tæt i ) og udgør en tælleligt uendelig mængde. Tallene i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}}

, som ikke er endepunkter, har også kun 0’er og 2’er i deres ternære repræsentation, men de kan ikke ende i en uendelig gentagelse af cifferet 0 eller af cifferet 2, for så ville det være et endepunkt.

Funktionen fra C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

til er defineret ved at tage de ternære tal, der udelukkende består af 0’er og 2’ere, erstatte alle 2’ere med 1’ere og fortolke sekvensen som en binær repræsentation af et reelt tal. I en formel er f ( ∑ k ∈ N a k 3 – k ) = ∑ k ∈ N a k 2 2 2 – k {\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}}{2}}}2^{-k}}}

hvor ∀ k ∈ N : a k ∈ { 0 , 2 } . {\displaystyle \forall k\i \mathbb {N} :a_{k}\i \{0,2\}.}

For ethvert tal y i , kan dets binære repræsentation oversættes til en ternær repræsentation af et tal x i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

ved at erstatte alle 1’er med 2’er. Hermed er f(x) = y, således at y ligger i området for f. Hvis f.eks. y = 3⁄5 = 0,10011001111001…2 = 0,1001, skriver vi x = 0,2002 = 0,200220022002…3 = 7⁄10. Følgelig er f surjektiv. Imidlertid er f ikke injektiv – de værdier, for hvilke f(x) er sammenfaldende, er værdierne i modsatrettede ender af en af de midterste tredjedele, der er fjernet. Tag f.eks. 1⁄3 = 0,023 (som er et højre grænsepunkt for C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

og et venstre grænsepunkt af den midterste tredjedel ) og 2⁄3 = 0,203 (som er et venstre grænsepunkt af C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

og et højre grænsepunkt i den midterste tredjedel )

så

f ( 1 / 3 ) = f ( 0.0 2 ¯ 3 ) = 0.0 1 ¯ 2 = 0.1 2 = 0.1 0 ¯ 2 = 0.1 0 ¯ 2 = f ( 0.2 0 ¯ 3 ) = f ( 2 / 3 ) . ∥ 1 / 2 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}}_{3})=0.0{\overline {1}}}_{2}=\!\!&\!\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}

Der er altså lige så mange punkter i Cantor-mængden som der er i intervallet (som har den utællelige kardinalitet c = 2 ℵ 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}}=2^{{\aleph _{0}}}}

). Imidlertid er mængden af endepunkter af de fjernede intervaller tællelig, så der må være utælleligt mange tal i Cantor-mængden, som ikke er endepunkter af intervaller. Som nævnt ovenfor er et eksempel på et sådant tal 1⁄4, som kan skrives som 0,020202…3 = 0,02 i ternær notation. Faktisk er det sådan, at givet en hvilken som helst a ∈ {\displaystyle a\in }

, findes der x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}

sådan at a = y – x {\displaystyle a=y-x}

. Dette blev først påvist af Steinhaus i 1917, som via et geometrisk argument beviste den tilsvarende påstand, at { ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ∩ ( C × C ) ≠ ∅ {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y=x+a\}\\;\cap \;({\mathcal {C}}}\times {\mathcal {C}}})\neq \emptyset }

for every a ∈ {\displaystyle a\in }

. Da denne konstruktion giver en injektion fra {\displaystyle }

til C × C {\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}

, har vi | C × C | ≥ | | | | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}}\times {\mathcal {C}}|\geq ||={{\mathfrak {c}}}

som en umiddelbar følge heraf. Hvis vi antager, at | A × A | = | A | {\displaystyle |A\times A|=|A|}

for enhver uendelig mængde A {\displaystyle A}

(et udsagn, der er vist at være ækvivalent med valgaxiomet af Tarski), giver dette en anden demonstration af, at | C | = c {\displaystyle |{{\mathcal {C}}}|={{\mathfrak {c}}}

.

Cantor-mængden indeholder lige så mange punkter som det interval, hvorfra den er taget, men indeholder selv ikke noget interval af en længde, der ikke er nul. De irrationelle tal har den samme egenskab, men Cantor-mængden har den yderligere egenskab at være lukket, så den er ikke engang tæt i noget interval, i modsætning til de irrationelle tal, som er tætte i alle intervaller.

Det er blevet formodet, at alle algebraiske irrationelle tal er normale. Da medlemmer af Cantor-mængden ikke er normale, ville dette indebære, at alle medlemmer af Cantor-mængden enten er rationelle eller transcendentale.

Selv-similaritetRediger

Cantor-mængden er prototypen på en fraktal. Det er selvlignende, fordi det er lig med to kopier af sig selv, hvis hver kopi krympes med en faktor 3 og translateres. Mere præcist er Cantor-mængden lig med foreningen af to funktioner, venstre og højre selvsimilitaritetstransformationer af den selv, T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3}

og T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}

, som efterlader Cantor-mængden invariant op til homeomorfisme: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . {\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}

Gentagne gentagne iterationer af T L {\displaystyle T_{L}}

og T R {\displaystyle T_{R}}

kan visualiseres som et uendeligt binært træ. Det vil sige, at man ved hver knude i træet kan betragte undertræet til venstre eller til højre. Hvis man tager mængden { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}

danner sammen med funktionskompositionen en monoide, den dyadiske monoide.

Automorfismerne af det binære træ er dets hyperboliske rotationer og er givet af den modulære gruppe. Cantor-mængden er således et homogent rum i den forstand, at for to vilkårlige punkter x {\displaystyle x}

og y {\displaystyle y}

i Cantor-mængden C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

, findes der en homøomorfisme h : C → C {\displaystyle h:{\mathcal {C}}}\til {\mathcal {C}}}}

med h ( x ) = y {\displaystyle h(x)=y}

. En eksplicit konstruktion af h {\displaystyle h}

kan beskrives lettere, hvis vi ser Cantor-mængden som et produktrum af tælleligt mange kopier af det diskrete rum { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}

. Så er kortet h : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N {\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\til \{0,1\}^{\mathbb {N} }}

defineret ved h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}

er en involutiv homøomorfisme, der udveksler x {\displaystyle x}

og y {\displaystyle y}

.

BevaringslovRediger

Det er blevet konstateret, at en eller anden form for bevaringslov altid er ansvarlig bag skalering og selvligning. I tilfældet med Cantor-mængden kan det ses, at d f {\displaystyle d_{f}}

th moment (hvor d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}

er den fraktale dimension) af alle de overlevende intervaller på et hvilket som helst tidspunkt i konstruktionsprocessen er lig med konstant, som er lig med et i Cantor-mængdens tilfælde . Vi ved, at der er N = 2 n {\displaystyle N=2^{n}}

intervaller af størrelsen 1 / 3 n {\displaystyle 1/3^{n}}

til stede i systemet på det n {\displaystyle n}

te step of its construction. Hvis vi så mærker de overlevende intervaller som x 1 , x 2 , … , x 2 n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}

så er d f {\displaystyle d_{f}}}

th moment er x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {\displaystyle x_{1}^{d_{f}}}+x_{2}^{d_{f}}}+\cdots +x_{2^{n}}}^{d_{f}}=1}

da x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}}=1/3^{n}}

.

Hausdorff-dimensionen af Cantor-mængden er lig med ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Topologiske og analytiske egenskaberRediger

Men selv om “Cantor-mængden” typisk henviser til den oprindelige, midterste tredjedel af Cantor, der er beskrevet ovenfor, taler topologer ofte om “en” Cantor-mængde, hvilket betyder ethvert topologisk rum, der er homeomorft (topologisk ækvivalent) til den.

Som ovenstående summationsargument viser, er Cantor-mængden utællelig, men har Lebesgue-mål 0. Da Cantor-mængden er komplementet til en union af åbne mængder, er den selv en lukket delmængde af de reelle mængder, og derfor et komplet metrisk rum. Da det også er totalt afgrænset, siger Heine-Borel-sætningen, at det må være kompakt.

For ethvert punkt i Cantor-mængden og ethvert vilkårligt lille nabolag til punktet findes der et andet tal med et ternært tal, der kun består af 0’er og 2’ere, samt tal, hvis ternære tal indeholder 1’ere. Derfor er ethvert punkt i Cantor-mængden et akkumulationspunkt (også kaldet et klyngepunkt eller grænsepunkt) i Cantor-mængden, men intet punkt er et internt punkt. En lukket mængde, hvor hvert punkt er et akkumulationspunkt, kaldes også en perfekt mængde i topologien, mens en lukket delmængde af intervallet uden indre punkter ikke er tæt nogen steder i intervallet.

Hvert punkt i Cantor-mængden er også et akkumulationspunkt i komplementet til Cantor-mængden.

For to punkter i Cantor-mængden vil der være et ternært tal, hvor de er forskellige – det ene vil have 0 og det andet 2. Ved at dele Cantor-mængden op i “halvdele” afhængigt af værdien af dette ciffer får man en partition af Cantor-mængden i to lukkede mængder, der adskiller de oprindelige to punkter. I den relative topologi på Cantor-mængden er punkterne blevet adskilt af et lukket sæt. Som følge heraf er Cantor-mængden fuldstændig frakoblet. Som et kompakt totalt frakoblet Hausdorff-rum er Cantor-mængden et eksempel på et Stone-rum.

Som et topologisk rum er Cantor-mængden naturligt homøomorf til produktet af tælleligt mange kopier af rummet { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}

, hvor hver kopi bærer den diskrete topologi. Dette er rummet af alle sekvenser i to cifre 2 N = { ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } for n ∈ N } {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\i \{0,1\}{\text{ for }}n\i \mathbb {N} \}}

,

som også kan identificeres med mængden af 2-adiske hele tal. Grundlaget for de åbne mængder i produkttopologien er cylindermængder; homeomorfismen kortlægger disse til den underrumstopologi, som Cantor-mængden arver fra den naturlige topologi på den reelle tallinje. Denne karakterisering af Cantor-rummet som et produkt af kompakte rum giver et andet bevis for, at Cantor-rummet er kompakt, via Tychonoffs sætning.

Fra ovenstående karakterisering er Cantor-mængden homøomorf til de p-adiske heltal, og, hvis et punkt fjernes fra den, til de p-adiske tal.

Cantor-mængden er en delmængde af de reelle tal, som er et metrisk rum med hensyn til den almindelige afstandsmetrik; derfor er Cantor-mængden selv et metrisk rum, ved brug af den samme metrik. Alternativt kan man bruge den p-adiske metrik på 2 N {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}

: givet to sekvenser ( x n ) , ( y n ) ∈ 2 N {\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }}

, er afstanden mellem dem d ( ( ( ( x n ), ( y n ) ) ) = 2 – k {\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}}))=2^{-k}}

, hvor k {\displaystyle k}

er det mindste indeks, således at x k ≠ y k {\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}}

; hvis der ikke findes et sådant indeks, så er de to sekvenser ens, og man definerer afstanden som værende nul. Disse to metrikker genererer den samme topologi på Cantor-mængden.

Vi har ovenfor set, at Cantor-mængden er et totalt frakoblet perfekt kompakt metrisk rum. Faktisk er det i en vis forstand det eneste: ethvert ikke-tomt totalt frakoblet perfekt kompakt metrisk rum er homeomorft til Cantor-mængden. Se Cantor space for mere om rum, der er homøomorfe til Cantor-sættet.

Cantor-sættet betragtes undertiden som “universelt” i kategorien af kompakte metriske rum, da ethvert kompakt metrisk rum er et kontinuerligt billede af Cantor-sættet; denne konstruktion er imidlertid ikke entydig, og derfor er Cantor-sættet ikke universelt i den præcise kategoriske betydning. Den “universelle” egenskab har vigtige anvendelser inden for funktionel analyse, hvor den undertiden er kendt som repræsentationssætningen for kompakte metriske rum.

For ethvert heltal q ≥ 2 er topologien på gruppen G=Zqω (den tællelige direkte sum) diskret. Selv om Pontrjagin-dualen Γ også er Zqω, er topologien på Γ kompakt. Man kan se, at Γ er totalt frakoblet og perfekt – det er således homeomorft til Cantor-mængden. Det er lettest at skrive homeomorfismen eksplicit ud i tilfældet q=2. (Se Rudin 1962 s 40.)

Den geometriske middelværdi af Cantor-mængden er ca. 0,274974.

Måling og sandsynlighedRediger

Cantor-mængden kan ses som den kompakte gruppe af binære sekvenser, og som sådan er den udstyret med en naturlig Haar-måling. Når den er normaliseret, således at mængden er 1, er den en model for en uendelig sekvens af møntkast. Endvidere kan man vise, at det sædvanlige Lebesgue-mål på intervallet er et billede af Haar-målet på Cantor-mængden, mens den naturlige injektion i den ternære mængde er et kanonisk eksempel på et singulært mål. Man kan også vise, at Haar-målet er et billede af enhver sandsynlighed, hvilket gør Cantor-mængden til et universelt sandsynlighedsrum på nogle måder.

I Lebesgue-måleteorien er Cantor-mængden et eksempel på en mængde, der er utællelig og har nulmåling.

CantortalRediger

Hvis vi definerer et Cantortal som et medlem af Cantor-mængden, så

• (1) Ethvert reelt tal i er summen af to Cantortal.
• (2) Mellem to Cantortal er der et tal, der ikke er et Cantortal.

Beskrivende mængdelæreRediger

Cantor-mængden er en mager mængde (eller en mængde af første kategori) som en delmængde af (dog ikke som en delmængde af sig selv, da det er et Baire-rum). Cantor-mængden viser således, at begreberne “størrelse” i form af kardinalitet, mål og (Baire-)kategori ikke behøver at falde sammen. Ligesom mængden Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, Cantor-mængden C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

er “lille” i den forstand, at det er en nullmængde (en mængde med mål nul), og det er en mager delmængde af . Men i modsætning til Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, som er tællelig og har en “lille” kardinalitet, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}

, kortinaliteten af C {\displaystyle {\mathcal {C}}}}

er den samme som den for , kontinuummet c {\displaystyle {\mathfrak {c}}}

, og er “stor” i betydningen kardinalitet. Faktisk er det også muligt at konstruere en delmængde af , der er mager, men af positiv målestok, og en delmængde, der ikke er mager, men af målestok nul: Ved at tage den tællelige union af “fede” Cantor-mængder C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}

af mål λ = ( n – 1 ) / n {\displaystyle \lambda =(n-1)/n}

(se Smith-Volterra-Cantor-mængden nedenfor for konstruktionen), får vi en mængde A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}

som har et positivt mål (lig med 1), men er mager i , da hver C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}

er ingen steder tæt. Så betragter man mængden A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}}^{\mathrm {c} }=\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}

. Da A ∪ A c = {\displaystyle {\mathcal {A}}}\cup {\mathcal {A}}}^{{\mathrm {c}} }=}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}}^{{\mathrm {c} }}

kan ikke være mager, men da μ ( A ) = 1 {\displaystyle \mu ({\mathcal {A}}})=1}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}}^{\mathrm {c} }}

må have mål nul.