Med fremkomsten af rock and roll fik Norman sin første guitar i en alder af syv år. Hans tidlige musikalske indflydelser var Elvis Presley, Little Richard og Lonnie Donegan.
I disse tidlige år flyttede Normans forældre meget rundt i landet, hvilket resulterede i, at han gik i ni forskellige skoler og boede forskellige steder i England, såsom Redcar, Luton, Kimpton og Nottingham. I 1962 var familien dog flyttet tilbage til Normans mors hjemby Bradford, hvor Norman boede. Da han nærmede sig sin 12-års fødselsdag, begyndte Norman på St. Bede’s Grammar School, hvor han skulle møde Alan Silson og Terry Uttley, de fremtidige medlemmer af Smokie.
Som teenagere, der var påvirket af den nye æra med grupper som The Beatles og The Rolling Stones og den daværende folkesanger Bob Dylan, begyndte Norman og Silson at mødes og brugte næsten al deres fritid på at lære nye sange på deres guitarer. Det lykkedes dem at overtale Uttley til at slutte sig til dem, og sammen med en ven, der var trommeslager og hed Ron Kelly, dannede de deres første band. The Yen, Essence og Long Side Down var blot nogle af de mange forskellige navne, de kaldte sig selv, før de lagde sig fast på “The Elizabethans”. Da Ron Kelly forlod gruppen i 1973, blev en gammel ven ved navn Pete Spencer bedt om at tage over på trommer, og gruppen, som skulle blive til Smokie, var komplet.
Mellem 1974 og begyndelsen af 1980’erne havde Smokie succes med at turnere over hele verden, men presset og presset ved konstant at være væk fra hjem og familie begyndte at smitte af på Norman. I begyndelsen af 1980’erne besluttede han at bruge mere tid på at skrive og arbejde i studiet. Norman og Spencer arbejdede nu sammen på sange for andre kunstnere, herunder hits for Kevin Keegan (“Head Over Heels in Love”, et hit nr. 31 i Storbritannien) og sangen for det engelske fodboldlandshold “This Time (We’ll Get It Right)”. Han arbejdede også med Agnetha Fältskog (på hendes soloalbum), Racey (medforfatter på “Baby It’s You”), Donovan (backing vocals på Donovan) og Heavy Metal Kids.
I 1978 indspillede Norman en duet med Suzi Quatro, “Stumblin’ In”, som blev nr. 4 på US Billboard Hot 100 og solgte over en million eksemplarer.
Normans solokarriere tog fart i 1986 med sangen “Midnight Lady”, som blev et hit i hele Europa og holdt førstepladsen i Tyskland i seks uger (hvor den solgte 900.000 eksemplarer). Yderligere succes fulgte med sangene “Some Hearts Are Diamonds”, “No Arms Can Ever Hold You”, “Broken Heroes”, “Fearless Hearts”, “Sarah” og “Baby I Miss You”. I 1994 blev Norman hædret af CMT Europe som deres “International Video Star of the Year”.
I 2004 deltog han i Comeback Show på den tyske tv-station ProSieben, hvor han optrådte med “Stumblin’ In” som duet med C. C. Catch. I det sidste afsnit af showet fik han selskab af Smokie til den sidste sang.
Den 2. juni 2007 optrådte Norman på Peel Bay Festival på Isle of Man.