Custer begyndte at køre quarter midgets som fireårig. I 2011 vandt Custer USAC National Focus Young Guns-mesterskabet. Året efter begyndte Custer at køre late models, hvor han vandt ti løb og blev kåret til Rookie of the Year.
Touring seriesRediger
I 2013 sluttede Custer sig til K&N Pro Series East og fik sin debut på Bristol Motor Speedway for Ken Schrader Racing. I løbet af sæsonen på Iowa Speedway vandt Custer pole position, førte hver omgang, en rekord for et kombinationsløb, og vandt og blev dermed den yngste løbsvinder i K&N Pro Series-historien som 15-årig, idet han slog Dylan Kwasniewskis rekord med seks måneder. Custer skulle vinde igen på New Hampshire Motor Speedway, også fra pole position. Han sluttede på ottendepladsen i serien. Custer kørte senere i K&N Pro Series West’s sæsonafslutningsløb. Custer førte hver eneste omgang, men blev vendt af Gray Gaulding på den sidste omgang og sluttede på sjettepladsen.
I 2014-sæsonen vandt Custer Pro Series West-optakten på Phoenix International Raceway og holdt Greg Pursley og Brennan Newberry bag sig i grøn-hvid-kassens afslutning.
Camping World Truck SeriesRediger
I 2014 sluttede Custer sig til Haas Racing Development for at køre ni løb i NASCAR Camping World Truck Series og fik sin debut i Kroger 250 på Martinsville Speedway. Custer startede løbet som nummer 9 og sluttede på en 12. plads. I kvalifikationen til Drivin’ for Linemen 200 på Gateway Motorsports Park satte Custer banerekord med en omgangshastighed på 219,556 km/t (136,426 miles i timen) og blev dermed den yngste polevinder i NASCAR’s historie.
På New Hampshire Motor Speedway den 20. september 2014 vandt Custer Camping World Truck Series’ UNOH 175 fra pole position og blev dermed den yngste vinder i NASCAR’s nationale touring-serie i historien på 16 år, 7 måneder og 28 dage.
Den 12. januar 2015 meddelte JR Motorsports, at Custer ville køre en lastbil for dem i ti løb i 2015. Den 13. juni vandt Custer Truck-løbet på Gateway Motorsports Park og holdt Spencer Gallaghers lastbil nr. 23 tilbage, efter at de dominerende lastbiler fra Erik Jones og Matt Crafton var involveret i to vrag i to omgange 142 og 152.
Da han fyldte 18 år i 2016 begyndte JR Motorsports at indsætte lastbil nr. 00 for Custer på fuld tid og konkurrerede om titlen som Rookie of the Year. På Canadian Tire Motorsport Park under Chevrolet Silverado 250 kæmpede John Hunter Nemechek og Custer om føringen, da Nemechek stødte Custer, før han kørte både Custer og sig selv ud af banen og fastklemte Custer i muren. Inden vinderen blev erklæret, blev Nemechek tacklet af Custer; Nemechek ville blive udnævnt til vinder.
Xfinity SeriesRediger
I 2016 fik Custer sin debut i Xfinity Series for JR Motorsports på Richmond International Raceway, hvor han kørte Chevrolet Camaro nr. 5. Han kørte nr. 88 for JR Motorsports til en karrierens bedste fjerdeplads i Charlotte i Hisense 4K TV 300.
Den 16. september 2016 meddelte Stewart-Haas Racing, at Custer ville køre nr. 00 Ford Mustang på fuld tid i 2017, med Haas Automation som primær sponsor. Custer indledte Xfinity-sæsonen 2017 med et styrt på Daytona og sluttede på en 37. plads. Han kom igen ugen efter i Atlanta og sluttede på 10. pladsen.
Efter at have været med i slutspillet i sin første deltagelse begyndte Custer at lave en optur i slutningen af sæsonen, herunder at føre flest omgange i Chicago og Kansas. Custer missede Final Four med to pladser efter at have kørt hoved mod hoved med Daniel Hemric, men ugen efter leverede Custer en klinik ved at føre flest omgange, vinde begge etaper og på vej til sin første Xfinity-sejr på Homestead-Miami Speedway i det sydlige Florida. Året efter ved efterårsløbet i Texas fik Custer sin anden sejr i karrieren, da han overhalede Tyler Reddick på sidste omgang og dermed sikrede sig en plads i Championship Four.
I 2019-sæsonen scorede Custer sejre i Fontana, Richmond, Pocono, Chicago, Kentucky og Dover. Han sluttede på andenpladsen i Darlington, men blev erklæret som den officielle vinder af løbet, efter at Denny Hamlin blev diskvalificeret, da hans bil ikke opfyldte højdekravene under inspektionen efter løbet. I slutningen af løbet i Kansas kom Custer i slagsmål med Reddick på pit road. Custer sluttede 2019-sæsonen som nummer to i point efter at være blevet nummer to igen efter Reddick på Homestead.
Cup SeriesRediger
I marts 2018 sluttede Custer sig til Rick Ware Racing for at få sin debut i Monster Energy NASCAR Cup Series i Pennzoil 400 på Las Vegas Motor Speedway. Han sluttede på en 25. plads. Han vendte tilbage til Pocono-løbet i juni, hvor han sluttede som 26. På Richmond Raceway i efteråret kvalificerede han sig overraskende som nummer ti, men han sluttede dog som nummer 26.
Den 15. november 2019 meddelte Stewart-Haas Racing, at Custer vil erstatte Daniel Suárez i Ford nr. 41 i 2020. Han scorede sin første Cup-top-tiendedel i Phoenix, mens hans første top fem kom i Indianapolis.
En uge efter Indianapolis vandt Custer sit første Cup-løb i Quaker State 400 på Kentucky Speedway, da han overhalede Kevin Harvick, Martin Truex Jr. og Ryan Blaney på sidste omgang. Han blev den første rookie til at vinde i Cup Series siden Chris Buescher i 2016, den første rookie til at gøre det i et ikke-forkortet løb siden Juan Pablo Montoya i 2007, og den 33. kører til at vinde et løb i alle tre NASCAR National Touring-serier. Med sejren nåede Custer frem til slutspillet i 2020, men blev elimineret efter tredje runde på Bristol. Han sluttede på en 16. plads i pointstatistikken og blev kåret til Sunoco Rookie of the Year.