SeismologiRediger
Begrebet dekonvolution blev tidligt anvendt inden for refleksionsseismologi. I 1950 var Enders Robinson en kandidatstuderende på MIT. Han arbejdede sammen med andre på MIT, såsom Norbert Wiener, Norman Levinson og økonomen Paul Samuelson, for at udvikle den “konvolutionelle model” af et refleksionsseismogram. I denne model antages det, at det registrerede seismogram s(t) er en konvolution af en jordrefleksfunktion e(t) og en seismisk bølgetype w(t) fra en punktkilde, hvor t repræsenterer optagelsestiden. Vores konvolutionsligning er således
s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {\displaystyle s(t)=(e*w)(t).\,}
Seismologen er interesseret i e, som indeholder oplysninger om Jordens struktur. Ved hjælp af konvolutionsteoremet kan denne ligning Fourier-transformeres til
S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {\displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\,}
i frekvensdomænet, hvor ω {\displaystyle \omega }
er frekvensvariablen. Ved at antage, at reflektiviteten er hvid, kan vi antage, at effektspektret af reflektiviteten er konstant, og at seismogrammets effektspektrum er spektret af waveletten multipliceret med denne konstant. Således er | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {\displaystyle |S(\omega )|\approx k|W(\omega )|.\,}
Hvis vi antager, at waveletten er minimum fase, kan vi genfinde den ved at beregne minimum fase ækvivalenten af det effektspektrum, vi lige har fundet. Reflektiviteten kan genfindes ved at designe og anvende et Wiener-filter, der former den estimerede wavelet til en Dirac-delta-funktion (dvs. en spike). Resultatet kan ses som en serie af skalerede, forskudte deltafunktioner (selv om dette ikke er matematisk stringent):
e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),}
hvor N er antallet af refleksionsbegivenheder, r i {\displaystyle r_{i}}}
er refleksionskoefficienterne, t – τ i {\displaystyle t-\tau _{i}}}
er refleksionstiderne for hver begivenhed, og δ {{\displaystyle \delta }
er Dirac-deltafunktionen.
I praksis giver ovenstående procedure kun en tilnærmelse af det filter, der er nødvendigt for at dekonvolvere dataene, da vi har at gøre med støjende datasæt med begrænset båndbredde, begrænset længde og diskret samplede data. Ved at formulere problemet som løsningen af en Toeplitz-matrix og ved hjælp af Levinson-rekursion kan vi imidlertid relativt hurtigt estimere et filter med den mindst mulige gennemsnitlige kvadrerede fejl. Vi kan også foretage dekonvolution direkte i frekvensdomænet og opnå lignende resultater. Teknikken er nært beslægtet med lineær forudsigelse.
Optik og anden billeddannelseRediger
I optik og billeddannelse anvendes udtrykket “dekonvolution” specifikt til at henvise til processen med at vende den optiske forvrængning, der finder sted i et optisk mikroskop, elektronmikroskop, teleskop eller et andet billeddannelsesinstrument, og derved skabe klarere billeder. Det sker normalt i det digitale område ved hjælp af en softwarealgoritme som en del af en række mikroskopiske billedbehandlingsteknikker. Dekonvolution er også praktisk til at skærpe billeder, der lider under hurtige bevægelser eller rystelser under optagelsen. Tidlige billeder fra Hubble-rumteleskopet var forvrænget af et defekt spejl og blev skærpet ved hjælp af dekonvolution.
Den sædvanlige metode er at antage, at den optiske vej gennem instrumentet er optisk perfekt, og at den konvolveres med en punktspredningsfunktion (PSF), dvs. en matematisk funktion, der beskriver forvrængningen i form af den vej, som en teoretisk punktkilde af lys (eller andre bølger) tager gennem instrumentet. Normalt bidrager en sådan punktkilde med et lille område af uskarphed til det endelige billede. Hvis denne funktion kan bestemmes, er det et spørgsmål om at beregne dens inverse eller komplementære funktion og konvolvere det optagne billede med denne. Resultatet er det oprindelige, uforvrængede billede.
I praksis er det umuligt at finde den sande PSF, og der anvendes normalt en tilnærmelse af den, som er teoretisk beregnet eller baseret på en eksperimentel vurdering ved hjælp af kendte sonder. Reel optik kan også have forskellige PSF’er ved forskellige fokale og rumlige placeringer, og PSF’en kan være ikke-lineær. Nøjagtigheden af tilnærmelsen af PSF’en vil diktere det endelige resultat. Der kan anvendes forskellige algoritmer for at opnå bedre resultater, men til gengæld er de mere beregningskrævende. Da den oprindelige konvolution udelukker data, anvender nogle algoritmer yderligere data, der er erhvervet i nærliggende brændpunkter, for at kompensere for nogle af de tabte oplysninger. Regularisering i iterative algoritmer (som i forventningsmaksimeringsalgoritmer) kan anvendes for at undgå urealistiske løsninger.
Når PSF’en er ukendt, kan det være muligt at udlede den ved systematisk at prøve forskellige mulige PSF’er og vurdere, om billedet er blevet forbedret. Denne procedure kaldes blind dekonvolution. Blind dekonvolution er en veletableret billedrestaureringsteknik inden for astronomi, hvor punktnaturen af de fotograferede objekter blotlægger PSF’en og dermed gør den mere gennemførlig. Den anvendes også inden for fluorescensmikroskopi til billedrestaurering og inden for fluorescensspektral billeddannelse til spektral adskillelse af flere ukendte fluorophorer. Den mest almindelige iterative algoritme til formålet er Richardson-Lucy-dekonvolutionsalgoritmen; Wiener-dekonvolutionen (og tilnærmelser) er de mest almindelige ikke-iterative algoritmer.
For nogle specifikke billeddannelsessystemer, såsom laserpulserede terahertz-systemer, kan PSF modelleres matematisk. Som følge heraf kan dekonvolution af den modellerede PSF og terahertz-billedet, som vist i figuren, give en højere opløsningsrepræsentation af terahertz-billedet.
RadioastronomiRediger
Når man udfører billedsyntese i radiointerferometri, en særlig form for radioastronomi, består et trin i at dekonvolvere det producerede billede med “dirty beam”, som er et andet navn for punktspredningsfunktionen. En almindeligt anvendt metode er CLEAN-algoritmen.
AbsorptionsspektrerRediger
Dekonvolution er blevet anvendt i vid udstrækning på absorptionsspektrer. Van Cittert-algoritmen (artikel på tysk) kan anvendes.
FouriertransformationsaspekterRediger
Dekonvolution kortlægger til division i Fourier co-domænet. Dette gør det muligt at anvende dekonvolution nemt med eksperimentelle data, der er genstand for en Fouriertransformation. Et eksempel er NMR-spektroskopi, hvor dataene er registreret i tidsdomænet, men analyseret i frekvensdomænet. Division af dataene i tidsdomænet med en eksponentiel funktion har den virkning, at bredden af Lorenzian-linjerne i frekvensdomænet reduceres.