Mængders egenskaber under en operation
Matematikere er ofte interesserede i, om visse mængder har bestemte egenskaber under en given operation. En af grundene til, at matematikere var interesserede i dette, var, at de kunne bestemme, hvornår ligninger ville have løsninger. Hvis en mængde under en given operation har visse generelle egenskaber, kan vi f.eks. løse lineære ligninger i denne mængde.
Der er flere vigtige egenskaber, som en mængde kan eller ikke kan opfylde under en bestemt operation. En egenskab er en bestemt regel, der gælder, hvis den er sand for alle elementer i en mængde under den givne operation, og en egenskab gælder ikke, hvis der er mindst ét par af elementer, der ikke følger egenskaben under den givne operation.
Det giver ikke rigtig nogen mening at tale om egenskaber på denne abstrakte måde endnu, så lad os se på nogle eksempler på egenskaber, så du bedre kan forstå, hvad de er. I denne forelæsning vil vi lære om lukkeegenskaben.
Slutningsegenskaben
En mængde har lukkeegenskaben under en bestemt operation, hvis resultatet af operationen altid er et element i mængden. Hvis en mængde har lukkeegenskaben under en bestemt operation, så siger vi, at mængden er “lukket under operationen”.
Det er meget nemmere at forstå en egenskab ved at se på eksempler end ved blot at tale om den på en abstrakt måde, så lad os gå videre til at se på eksempler, så du kan se præcis, hvad vi taler om, når vi siger, at en mængde har lukkeegenskaben:
Først skal vi se på nogle få uendelige mængder med operationer, som vi allerede kender:
a) Mængden af hele tal er lukket under operationen addition, fordi summen af to hele tal altid er et andet heltal og derfor er i mængden af hele tal.
b) Mængden af hele tal er ikke lukket under divisionsoperationen, fordi man, når man dividerer et heltal med et andet, ikke altid får et andet heltal som svar. F.eks. er 4 og 9 begge hele tal, men 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 er ikke et heltal, så det er ikke i mængden af hele tal!
for at se flere eksempler på uendelige mængder, der opfylder og ikke opfylder lukkeegenskaben.
c) Mængden af rationale tal er lukket under operationen multiplikation, fordi produktet af to rationale tal altid vil være et andet rationalt tal, og derfor vil det være i mængden af rationale tal. Dette skyldes, at multiplikation af to brøker altid vil give en anden brøk som resultat, da produktet af to brøker a/b og c/d, vil give ac/bd som resultat. Den eneste mulige måde, hvorpå ac/bd ikke kunne være en brøk, er, hvis bd er lig med 0. Men hvis a/b og c/d begge er brøker, betyder det, at hverken b eller d er 0, så bd kan ikke være 0.
d) Mængden af naturlige tal er ikke lukket under subtraktionsoperationen, fordi man, når man subtraherer et naturligt tal fra et andet, ikke altid får et andet naturligt tal. F.eks. er 5 og 16 begge naturlige tal, men 5 – 16 = – 11. – 11 er ikke et naturligt tal, så det er ikke i mængden af naturlige tal!
Nu skal vi se på et par eksempler på endeløse mængder med operationer, som vi måske ikke kender:
e) Mængden {1,2,3,4} er ikke lukket under operationen addition, fordi 2 + 3 = 5, og 5 er ikke et element i mængden {1,2,3,4}.
Vi kan også se dette ved at se på operationstabellen for mængden {1,2,3,4} under operationen addition:
|
+ |
|||||
Mængden{1,2,3,4} er ikke lukket under operationen +, fordi der er mindst ét resultat (alle resultater er skraveret med orange), som ikke er et element i mængden {1,2,3,4}. Diagrammet indeholder resultaterne 5, 6, 7 og 8, hvoraf ingen af dem er elementer af mængden {1,2,3,4}!
f) Mængden {a,b,c,d,e} har følgende operationstabel for operationen *:
|
* |
a |
b |
c |
d |
e |
||
|
a |
b |
c |
e |
a |
d |
||
|
b |
d |
a |
c |
b |
e |
||
|
c |
c |
d |
b |
e |
a |
||
|
d |
a |
e |
d |
d |
c |
b |
|
|
e |
e |
e |
e |
b |
a |
d |
c |
Mængden{a,b,c,d,e} er lukket under operationen *, fordi alle resultaterne (som er skraveret med orange) er elementer i mængden {a,b,c,d,e}.
for at se et andet eksempel.
g) Mængden {a,b,c,d,e} har følgende operationstabel for operationen $:
|
a |
b |
c |
d |
e |
||
|
a |
b |
f |
e |
a |
h |
|
|
b |
d |
a |
c |
h |
e |
|
|
c |
c |
d |
b |
g |
a |
|
|
d |
g |
e |
d |
d |
c |
b |
|
e |
e |
b |
h |
d |
c |
Mængden{a,b,c,d,e} er ikke lukket under operationen $, fordi der er mindst ét resultat (alle resultaterne er skraveret med orange), som ikke er et element i mængden {a,b,c,d,e}. Ifølge skemaet er f.eks. a$b=f. Men f er ikke et element i {a,b,c,d,e}!