I matematikken bruges modeksempler ofte til at bevise grænserne for mulige teoremer. Ved at bruge modeksempler til at vise, at visse formodninger er falske, kan matematiske forskere så undgå at gå ned ad blindgyder og lære at ændre formodninger for at frembringe beviselige sætninger. Man siger nogle gange, at matematisk udvikling primært består i at finde (og bevise) sætninger og modeksempler.
Eksempel på rektangelRediger
Sæt, at en matematiker studerer geometri og former, og at hun ønsker at bevise visse sætninger om dem. Hun gætter på, at “Alle rektangler er firkanter”, og hun er interesseret i at vide, om dette udsagn er sandt eller falsk.
I dette tilfælde kan hun enten forsøge at bevise sandheden af udsagnet ved hjælp af deduktive ræsonnementer, eller hun kan forsøge at finde et modeksempel på udsagnet, hvis hun har mistanke om, at det er falsk. I sidstnævnte tilfælde ville et modeksempel være et rektangel, der ikke er et kvadrat, f.eks. et rektangel med to sider af længden 5 og to sider af længden 7. Men på trods af at hun har fundet rektangler, der ikke var firkanter, havde alle de rektangler, hun fandt, fire sider. Hun fremsætter derfor den nye formodning: “Alle rektangler har fire sider”. Dette er logisk set svagere end hendes oprindelige formodning, da alle firkanter har fire sider, men ikke alle firsidede former er firkanter.
Overstående eksempel forklarede – på en forenklet måde – hvordan en matematiker kan svække sin formodning over for modeksempler, men modeksempler kan også bruges til at påvise nødvendigheden af visse antagelser og hypoteser. Lad os f.eks. antage, at matematikeren ovenfor efter et stykke tid har lagt sig fast på den nye formodning “Alle figurer, der er rektangler og har fire lige lange sider, er firkanter”. Denne formodning har to dele i hypotesen: formen skal være “et rektangel” og skal have “fire lige lange sider”. Matematikeren vil derfor gerne vide, om hun kan fjerne en af de to antagelser og stadig bevare sandheden i sin formodning. Det betyder, at hun skal kontrollere sandheden af følgende to udsagn:
- “Alle former, der er rektangler, er firkanter.”
- “Alle former, der har fire lige lange sider, er firkanter.”
Et modeksempel til (1) blev allerede givet ovenfor, og et modeksempel til (2) er en ikke-firkantet rhombe. Matematikeren ved altså nu, at begge antagelser faktisk var nødvendige.
Andre matematiske eksemplerRediger
Et modeksempel til udsagnet “alle primtal er ulige tal” er tallet 2, da det er et primtal, men ikke er et ulige tal. Ingen af tallene 7 eller 10 er et modeksempel, da ingen af dem er nok til at modsige udsagnet. I dette eksempel er 2 faktisk det eneste mulige modeksempel til udsagnet, selv om det alene er nok til at modsige udsagnet. På samme måde har udsagnet “Alle naturlige tal er enten primtal eller sammensatte” tallet 1 som modeksempel, da 1 hverken er primtal eller sammensat.
Eulers sum af potenser formodning blev modbevist ved hjælp af et modeksempel. Den hævdede, at mindst n n-te potenser var nødvendige for at summe til en anden n-te potens. Denne formodning blev modbevist i 1966 med et modeksempel, der involverer n = 5; andre n = 5-modeksempler er nu kendt, såvel som nogle n = 4-modeksempler.
Witsenhausens modeksempel viser, at det ikke altid er sandt (for kontrolproblemer), at en kvadratisk tabsfunktion og en lineær ligning for udviklingen af tilstandsvariablen indebærer optimale kontrollove, der er lineære.
Andre eksempler omfatter modbeviser af Seiferts formodning, Pólyas formodning, formodningen om Hilberts fjortende problem, Tait’s formodning og Ganeas formodning.