Vi får alle mulige spørgsmål i vores “Spørg en fysiker”-indbakke (herunder et positivt nedslående antal fra folk, der synes at tro, at det er “Spørg en psykolog”), men et emne, der konsekvent synes at vække folks fantasi og nysgerrighed, er lysets hastighed. Hvad definerer den, og hvorfor kan intet gå hurtigere end den? Hvad sker der, hvis vi prøver? At tænke over disse spørgsmål og forsøge at finde svarene på dem er fascinerende og sjovt i sig selv, men vigtigere er det, at det giver os indsigt i de regler, der ligger til grund for vores univers. I dag vil vi grave i et af disse spørgsmål og dets opklarende (uden ordspil) svar: Hvorfor er lysets hastighed i et vakuum ~300.000.000.000 meter i sekundet? Hvorfor c?
Uanset bølgelængde og energi bevæger alle elektromagnetiske bølger sig med samme hastighed.
Forestil dig, at du har en ladet ledning, der strækker sig uendeligt langt i begge retninger. Da den er uendelig, er det svært at tale om, hvor stor den samlede ladning er på tråden, på samme måde som vi ville kunne gøre det, hvis det var noget som en kugle. Men ved at se på en endelig længdeenhed kan vi tale om – f.eks. ladningen pr. meter eller ladningstætheden.
En uendelig ledning ser ens ud fra ethvert punkt langs dens længde, så når man tænker på styrken af det elektriske felt, der skabes af ladningen i denne ledning – hvor stærkt en ladet partikel vil blive tiltrukket eller frastødt af den – vil det udelukkende afhænge af ledningens ladningstæthed og den pågældende partikels afstand fra ledningen (samt permittiviteten af det medium, man befinder sig i, hvilket i vores tilfælde er et vakuum). Ligningen for det elektriske felt omkring denne ledning er vist nedenfor:
Nu, ude i den uendelige afstand, begynder en person at oprulle denne ledning og trække den langs dens akse. For alle praktiske formål skaber denne bevægelse en strøm; i stedet for at flytte ladningerne i tråden (som man ville gøre ved at ændre spændingen i den ene ende), flytter vi selve tråden sammen med de ladninger, den indeholder. Hvorfor, vil du forhåbentlig se om et øjeblik.
Som du måske ved, skaber en strøm i en ledning et magnetfelt, der cirkulerer rundt om ledningen. Styrken af dette magnetfelt afhænger af din afstand til tråden (d), men også af styrken af strømmen, som i dette tilfælde er produktet af trådens ladningstæthed og den hastighed, hvormed den trækkes med.
Forestil dig nu, at du har en anden af disse tråde, parallelt med den første, ladet med samme spænding, og som trækkes i samme retning med samme hastighed. Da de to ledninger har samme ladning, vil de to ledninger frastøde hinanden og blive skubbet fra hinanden af deres elektrostatiske frastødning.
Når man beregner kraften mellem to ladede objekter, multipliceres deres ladninger med hinanden, hvilket fører til ovenstående lambda-kvadrat udtryk (da hver ledning har en ladningstæthed på lambda).
Den statiske elektriske ladning på disse ledninger får dem til at frastøde hinanden. Men da trådene trækkes med i samme retning, er der effektivt en strøm i hver af dem, og det magnetiske felt, der følger med disse strømme. Når man har to strømme, der peger i samme retning i parallelle ledninger, skaber deres magnetfelter en tiltrækkende kraft mellem de to – jo hurtigere de bevæger sig, jo stærkere bliver denne tiltrækkende kraft.
Ligningen for den magnetisk skabte tiltrækkende kraft mellem ledningerne.
Hvis du følger godt med, vil du se, at vi har opstillet et scenarie, hvor magnetismens tiltrækkende kraft modvirker den frastødende elektriske kraft mellem disse ledninger. Som du kan se af ovenstående ligninger, afhænger styrken af denne magnetiske kraft dog af, hvor hurtigt ledningerne bevæger sig, mens den frastødende elektriske kraft ikke gør det (deraf den almindelige fysikudtryk elektrostatisk). Så hvor hurtigt skal ledningerne bevæge sig, for at den elektriske frastødning bliver ophævet af den magnetiske tiltrækning? Det kan vi finde ud af ved at sætte de to kraftligninger lig hinanden, som nedenfor, og derefter løse for v.
En smule algebra hjælper os med at slippe af med parenteserne og reducere brøken på højre side af ligningen, så vi får dette:
Et overraskende resultat på dette trin er, at ladningstæthedstermen optræder samme sted på begge sider af ligningen og er hævet til samme potens, hvilket betyder, at den kan “annulleres” – den hastighed, som ledningerne skal bevæge sig med, for at deres elektriske og magnetiske kræfter kan udlignes, afhænger slet ikke af, hvor stærkt de er ladet. Faktoren 2*pi*d kan også annulleres, hvilket betyder, at afstanden mellem ledningerne også er irrelevant i denne ligning. Hvis man dividerer alle de overflødige udtryk ud, bliver ligningen til:
og endelig giver løsningen for v:
Hvis man indsætter de faktiske numeriske værdier for vakuumets permittivitet og permeabilitet, giver det 299.792.400 meter i sekundet – nøjagtig lysets hastighed!
Så hvad betyder det? For det første betyder det, at man i virkeligheden aldrig kan bevæge ledningerne hurtigt nok til, at deres elektriske frastødning bliver fuldstændig modsvaret af deres magnetiske tiltrækning, da intet massivt objekt nogensinde kan bevæge sig med lysets hastighed. Vigtigere er det dog, at det giver os et fingerpeg om, hvorfor lysets hastighed i vakuum er, hvad den er; det er den hastighed, hvor de elektriske og magnetiske kræfter udligner hinanden og skaber en stabil elektromagnetisk bølgepakke, der kan bevæge sig i det uendelige. Hvis det var langsommere, ville fotonen gå i opløsning, ligesom ledningerne ville blive skubbet fra hinanden af den elektriske frastødning. Hvis det gik hurtigere, ville magnetismen overvinde denne frastødning og trække dem sammen og få systemet til at bryde sammen. Med intet andet end matematik på gymnasieniveau er det let at vise, at lysets hastighed i et medium (eller i rummets vakuum) uundgåeligt opstår som en konsekvens af dette medies elektriske permittivitet og magnetiske permeabilitet.
Jeg ved godt, at dette var meget matematisk for et blogindlæg (vi skulle faktisk regne alt dette ud som en hjemmeopgave på universitetet), men forhåbentlig har det givet dig et glimt af en af de mest spændende og vanedannende dele af fysikken – potentialet til at udlede og opdage bogstavelige universelle sandheder med intet andet end lidt fantasi og matematik.