Theori om tilfældige matricer tager udgangspunkt i den antagelse, at et komplekst systems adfærd i stor skala bør styres af dets symmetrier og de statistiske egenskaber af dets parametre og være relativt ufølsom over for de præcise detaljer i hvert enkelt interagerende element. Teorien har hovedsagelig til formål at bestemme statistikken af egenværdierne og egenvektorerne af tilfældige matricer i grænsen for store størrelser. Tidlige arbejder, der stammer fra kernefysikken, fokuserede på ensembler med både hermitiansk symmetri og alle-til-alle-interaktioner, svarende til middelfeltmodeller i statistisk fysik. Hvis man slækker på antagelsen om alt-til-alle-vekselvirkning, opstår der topologisk uorden, og det fører til ensembler af sparsomme tilfældige matricer med mange matrixposter på nul. Sådanne matricer modellerer komplekse systemer, hvor en given frihedsgrad interagerer med et begrænset antal andre, og de opstår naturligt i forbindelse med systemer som f.eks. neurale netværk eller økosystemer.
På trods af denne brede betydning har sparsomme ikke-Hermitiske tilfældige matricer imidlertid kun været genstand for væsentlige undersøgelser i det seneste årti, da standardanalysemetoder fra tilfældig matrixteori ikke finder anvendelse. Rigorøse resultater for sådanne matricer er næsten ikke-eksisterende, da det er meget vanskeligt at bevise konvergensen af egenskaberne ved egenværdier og egenvektorer til en deterministisk grænse ved store matrixstørrelser. Den seneste forskning har imidlertid gjort fremskridt med nye tilgange. I en ny artikel gennemgår LML-fellow Fernando Metz sammen med Izaak Neri fra King’s College London og Tim Rogers fra University of Bath de teoretiske fremskridt i undersøgelsen af spektrer af sparsomme ikke-Hermitiske tilfældige matricer med fokus på nøjagtige metoder baseret på en frugtbar analogi mellem beregninger af tilfældige matricer og den statistiske mekanik for uordnede spinsystemer. Som de viser, giver disse metoder for enkle modeller adgang til analytiske resultater for spektrale egenskaber for sparsomme ikke-Hermitiske tilfældige matricer. For mere komplicerede modeller kan de spektrale egenskaber også beregnes i den store grænse ved hjælp af numeriske algoritmer.
Metz og kolleger afslutter deres gennemgang med at bemærke, at teorien om sparsomme ikke-Hermitiske tilfældige matricer stadig er i sin vorden sammenlignet med den klassiske tilfældige matrixteori, og at der er mange udestående spørgsmål. Blandt dem er spørgsmålet om universalitet. Interessen for teorien om tilfældige matricer afhænger i høj grad af den universelle opførsel af mange spektrale observabler, som gør det muligt at studere stabiliteten af komplekse dynamiske systemer. I tilfælde af sparsomme tilfældige matricer synes denne mulighed at være tabt på grund af stærke lokale fluktuationer i grafstrukturen. Det viser sig imidlertid, at mange ensembler af sparsomme ikke-Hermitiske tilfældige matricer udviser nogle universelle egenskaber som f.eks. det spektrale gab, egenværdien med den største realdel og de egenvektormomenter, der svarer til denne egenværdi. Disse spektrale egenskaber bestemmer stabiliteten og dynamikken i komplekse systemer i stationær tilstand. Det ser derfor ud til, at der er håb om at finde universel adfærd for sparsomme matricer, hvis man ser på de rigtige observabler, hvilket kan føre til en bedre forståelse af universalitet i store dynamiske systemer.
Et præprint af artiklen er tilgængeligt på https://arxiv.org/abs/1811.10416