Obwohl sowohl Descartes als auch Fermat vorschlugen, drei Koordinaten zur Untersuchung von Kurven und Flächen im Raum zu verwenden, entwickelte sich die dreidimensionale analytische Geometrie nur langsam, bis etwa 1730 die Schweizer Mathematiker Leonhard Euler und Jakob Hermann und der französische Mathematiker Alexis Clairaut allgemeine Gleichungen für Zylinder, Kegel und Rotationsflächen aufstellten. Euler und Hermann zeigten zum Beispiel, dass die Gleichung f(z) = x2 + y2 die Fläche angibt, die entsteht, wenn man die Kurve f(z) = x2 um die z-Achse dreht (siehe Abbildung, die das elliptische Paraboloid z = x2 + y2 zeigt).
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Newton stellte die bemerkenswerte Behauptung auf, dass alle ebenen Würfel aus denen seiner dritten Standardform durch Projektion zwischen Ebenen entstehen. Dies wurde 1731 von Clairaut und dem französischen Mathematiker François Nicole unabhängig voneinander bewiesen. Clairaut erhielt alle Kubiken in Newtons vier Standardformen als Abschnitte des kubischen Kegels conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3, der aus den Linien im Raum besteht, die den Ursprung (0, 0, 0) mit den Punkten auf der dritten Standardkubik in der Ebene z = 1 verbinden.
Im Jahr 1748 verwendete Euler Gleichungen für Rotationen und Translationen im Raum, um die allgemeine quadratische Flächeax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 so zu transformieren, dass ihre Hauptachsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen. Euler und die französischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange und Gaspard Monge machten die analytische Geometrie unabhängig von der synthetischen (nichtanalytischen) Geometrie.
Vektoranalysis
Im euklidischen Raum beliebiger Dimension können Vektoren – gerichtete Liniensegmente – durch Koordinaten angegeben werden. Ein n-Tupel (a1, …, an) stellt den Vektor im n-dimensionalen Raum dar, der auf die reellen Zahlen a1, …, an auf den Koordinatenachsen projiziert.
Im Jahr 1843 stellte der irische Mathematiker und Astronom William Rowan Hamilton vierdimensionale Vektoren algebraisch dar und erfand die Quaternionen, die erste nichtkommutative Algebra, die ausgiebig untersucht wurde. Die Multiplikation der Quaternionen mit einer Koordinatennull führte Hamilton zur Entdeckung grundlegender Vektoroperationen. Dennoch fanden die mathematischen Physiker die in der Vektoranalyse verwendete Notation flexibler – insbesondere ist sie leicht auf unendlich-dimensionale Räume erweiterbar. Die Quaternionen blieben algebraisch interessant und wurden in den 1960er Jahren in bestimmte neue Modelle der Teilchenphysik integriert.
Projektionen
Da die verfügbare Rechenleistung in den letzten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts exponentiell anstieg, wurden Computeranimation und computergestütztes Design allgegenwärtig. Diese Anwendungen beruhen auf dreidimensionaler analytischer Geometrie. Koordinaten werden verwendet, um die Kanten oder parametrischen Kurven zu bestimmen, die die Oberflächen virtueller Objekte begrenzen. Die Vektoranalyse wird verwendet, um die Beleuchtung zu modellieren und realistische Schattierungen von Oberflächen zu bestimmen.
Bereits 1850 hatte Julius Plücker analytische und projektive Geometrie vereint, indem er homogene Koordinaten einführte, die Punkte in der euklidischen Ebene (siehe euklidische Geometrie) und im Unendlichen auf einheitliche Weise als Tripel darstellen. Projektive Transformationen, d. h. invertierbare lineare Änderungen homogener Koordinaten, sind durch Matrixmultiplikation gegeben. Auf diese Weise können Computergrafikprogramme effizient die Form oder die Ansicht von abgebildeten Objekten ändern und sie aus dem dreidimensionalen virtuellen Raum auf den zweidimensionalen Bildschirm projizieren.
Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza