Cantor-Menge

KardinalitätBearbeiten

Es lässt sich zeigen, dass bei diesem Prozess genauso viele Punkte zurückbleiben, wie am Anfang vorhanden waren, und dass die Cantor-Menge daher nicht abzählbar ist. Um dies zu sehen, zeigen wir, dass es eine Funktion f aus der Cantor-Menge C gibt.

zum geschlossenen Intervall gibt, die surjektiv ist (d.h. f bildet von C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

auf ), so dass die Kardinalität von C {\displaystyle {\mathcal {C}}

nicht kleiner ist als die von . Da C {\displaystyle {\mathcal {C}}

eine Teilmenge von ist, ist ihre Kardinalität auch nicht größer, so dass die beiden Kardinalitäten nach dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem tatsächlich gleich sein müssen.

Um diese Funktion zu konstruieren, muss man die Punkte des Intervalls in der Notation zur Basis 3 (oder ternär) betrachten. Erinnern wir uns, dass die echten ternären Brüche, genauer: die Elemente von ( Z ∖ { 0 } ) ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}

, lassen mehr als eine Darstellung in dieser Notation zu, wie zum Beispiel 1/3, das als 0.13 = 0.103, aber auch als 0.0222…3 = 0.023 geschrieben werden kann, und 2/3, das als 0.23 = 0.203, aber auch als 0,1222…3 = 0,123 geschrieben werden kann. Wenn wir das mittlere Drittel entfernen, enthält dies die Zahlen mit ternären Ziffern der Form 0,1xxxxx…3, wobei xxxxx…3 genau zwischen 00000…3 und 22222…3 liegt. Die nach dem ersten Schritt verbleibenden Zahlen bestehen also aus

• Zahlen der Form 0.0xxxxx…3 (einschließlich 0.022222…3 = 1/3)
• Zahlen der Form 0.2xxxxx…3 (einschließlich 0.222222…3 = 1)

Zusammenfassend kann man sagen, dass die Zahlen mit einer solchen ternären Darstellung, dass die erste Ziffer nach dem Radixpunkt nicht 1 ist, die nach dem ersten Schritt verbleibenden sind.

Im zweiten Schritt werden Zahlen der Form 0.01xxxx…3 und 0.21xxxx…3 entfernt, und (mit entsprechender Sorgfalt für die Endpunkte) kann man schließen, dass die verbleibenden Zahlen diejenigen mit einer ternären Darstellung sind, bei denen keine der ersten beiden Ziffern 1 ist.

Weiter so: Damit eine Zahl im Schritt n nicht ausgeschlossen wird, muss sie eine ternäre Darstellung haben, deren n-te Ziffer nicht 1 ist. Damit eine Zahl in der Cantor-Menge ist, darf sie in keinem Schritt ausgeschlossen sein, sie muss eine Zahlendarstellung zulassen, die vollständig aus 0en und 2en besteht.

Es lohnt sich zu betonen, dass Zahlen wie 1, 1/3 = 0,13 und 7/9 = 0,213 in der Cantor-Menge sind, da sie ternäre Zahlendarstellungen haben, die vollständig aus 0en und 2en bestehen: 1 = 0.222…3 = 0.23, 1/3 = 0.0222…3 = 0.023 und 7/9 = 0.20222…3 = 0.2023.Alle letztgenannten Zahlen sind „Endpunkte“, und diese Beispiele sind rechte Grenzpunkte von C.

. Dasselbe gilt für die linken Grenzpunkte von C {\displaystyle {\mathcal {C}}

, z.B. 2/3 = 0,1222…3 = 0,123 = 0,203 und 8/9 = 0,21222…3 = 0,2123 = 0,2203. Alle diese Endpunkte sind echte ternäre Brüche (Elemente von Z ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}

) der Form p/q, wobei der Nenner q eine Potenz von 3 ist, wenn der Bruch in seiner irreduziblen Form vorliegt. Die ternäre Darstellung dieser Brüche endet (d. h. ist endlich) oder – wie oben erwähnt, haben echte ternäre Brüche jeweils 2 Darstellungen – ist unendlich und „endet“ entweder in unendlich vielen wiederkehrenden 0en oder unendlich vielen wiederkehrenden 2en. Ein solcher Bruch ist ein linker Grenzpunkt von C {\displaystyle {\mathcal {C}}

, wenn seine ternäre Darstellung keine 1en enthält und in unendlich vielen wiederkehrenden 0en „endet“. In ähnlicher Weise ist ein echter ternärer Bruch ein rechter Grenzpunkt von C {\displaystyle {\mathcal {C}}

, wenn er wiederum in seiner ternären Erweiterung keine 1en enthält und in unendlich vielen wiederkehrenden 2en „endet“.

Diese Menge von Endpunkten ist dicht in C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

(aber nicht dicht in ) und stellt eine abzählbar unendliche Menge dar. Die Zahlen in C {\displaystyle {\mathcal {C}}

, die keine Endpunkte sind, haben in ihrer ternären Darstellung ebenfalls nur 0en und 2en, aber sie können weder in einer unendlichen Wiederholung der Ziffer 0 noch der Ziffer 2 enden, denn dann wäre sie ein Endpunkt.

Die Funktion von C {\displaystyle {\mathcal {C}}

wird definiert, indem man die ternären Ziffern, die ausschließlich aus 0en und 2en bestehen, nimmt, alle 2en durch 1en ersetzt und die Folge als binäre Darstellung einer reellen Zahl interpretiert. In einer Formel ist f ( ∑ k ∈ N a k 3 – k ) = ∑ k ∈ N a k 2 2 – k {\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}

mit ∀ k ∈ N : a k ∈ { 0 , 2 } . {\displaystyle \für alle k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.}

Für jede Zahl y in , kann ihre binäre Darstellung in eine ternäre Darstellung einer Zahl x in C {\displaystyle {\mathcal {C}}} übersetzt werden

, indem alle 1en durch 2en ersetzt werden. Damit ist f(x) = y, so dass y im Bereich von f liegt. Wenn zum Beispiel y = 3⁄5 = 0,100110011001…2 = 0,1001 ist, schreiben wir x = 0,2002 = 0,200220022002…3 = 7⁄10. Folglich ist f surjektiv. Allerdings ist f nicht injektiv – die Werte, für die f(x) übereinstimmt, sind die an den gegenüberliegenden Enden eines der mittleren Drittel entfernt. Nehmen wir zum Beispiel 1⁄3 = 0,023 (was ein rechter Grenzpunkt von C {\displaystyle {\mathcal {C}} ist)

und ein linker Grenzpunkt des mittleren Drittels ) und 2⁄3 = 0,203 (das ist ein linker Grenzpunkt von C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

und ein rechter Grenzpunkt des mittleren Drittels )

so

f ( 1 / 3 ) = f ( 0.0 2 ¯ 3 ) = 0.0 1 ¯ 2 = 0.1 2 = 0.1 0 ¯ 2 = f ( 0.2 0 ¯ 3 ) = f ( 2 / 3 ) . ∥ 1 / 2 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}_{3})=0.0{\overline {1}}_{2}=\!\!&\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}

Damit gibt es so viele Punkte in der Cantor-Menge wie im Intervall (das die nicht abzählbare Kardinalität c = 2 ℵ 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}

). Die Menge der Endpunkte der entfernten Intervalle ist jedoch abzählbar, so dass es unendlich viele Zahlen in der Cantor-Menge geben muss, die keine Endpunkte von Intervallen sind. Wie oben erwähnt, ist ein Beispiel für eine solche Zahl 1⁄4, die in ternärer Schreibweise als 0,020202…3 = 0,02 geschrieben werden kann. In der Tat, bei einem beliebigen a ∈ {\displaystyle a\in }

, gibt es x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}

, so dass a = y – x {\displaystyle a=y-x}

. Dies wurde erstmals 1917 von Steinhaus gezeigt, der über ein geometrisches Argument die äquivalente Behauptung bewies, dass { ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ∩ ( C × C ) ≠ ∅ {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y=x+a\}};\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }

für jedes a ∈ {\displaystyle a\in }

. Da diese Konstruktion eine Injektion von {\displaystyle }

zu C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}

, haben wir | C × C | ≥ | | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}\Zeiten {\mathcal {C}}|\geq ||={\mathfrak {c}}

als unmittelbare Folgerung. Unter der Annahme, dass | A × A | = | A | {\displaystyle |A\times A|=|A|}

für jede unendliche Menge A {\displaystyle A}

(eine Aussage, die sich als äquivalent zum Auswahlaxiom von Tarski erwiesen hat), liefert dies einen weiteren Beweis, dass | C | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}

.

Die Cantor-Menge enthält so viele Punkte wie das Intervall, aus dem sie entnommen ist, enthält aber selbst kein Intervall von ungleich Null Länge. Die irrationalen Zahlen haben die gleiche Eigenschaft, aber die Cantor-Menge hat die zusätzliche Eigenschaft, geschlossen zu sein, so dass sie nicht einmal in einem Intervall dicht ist, im Gegensatz zu den irrationalen Zahlen, die in jedem Intervall dicht sind.

Es wurde vermutet, dass alle algebraischen irrationalen Zahlen normal sind. Da die Mitglieder der Cantor-Menge nicht normal sind, würde dies bedeuten, dass alle Mitglieder der Cantor-Menge entweder rational oder transzendental sind.

SelbstähnlichkeitBearbeiten

Die Cantor-Menge ist der Prototyp eines Fraktals. Sie ist selbstähnlich, weil sie zwei Kopien ihrer selbst entspricht, wenn jede Kopie um den Faktor 3 verkleinert und übersetzt wird. Genauer gesagt ist die Cantor-Menge gleich der Vereinigung von zwei Funktionen, den linken und rechten Selbstähnlichkeitstransformationen ihrer selbst, T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3}

und T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}

, die die Cantor-Menge bis zum Homöomorphismus invariant lassen: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . {\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}

Wiederholte Iteration von T L {\displaystyle T_{L}}

und T R {\displaystyle T_{R}}

können als ein unendlicher Binärbaum dargestellt werden. Das heißt, an jedem Knoten des Baums kann man den Teilbaum links oder rechts davon betrachten. Nimmt man die Menge { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}

bildet zusammen mit der Funktionskomposition ein Monoid, das dyadische Monoid.

Die Automorphismen des Binärbaums sind seine hyperbolischen Rotationen und werden durch die Modulgruppe gegeben. Die Cantor-Menge ist also ein homogener Raum in dem Sinne, dass für zwei beliebige Punkte x {\displaystyle x}

und y {\displaystyle y}

in der Cantor-Menge C {\displaystyle {\mathcal {C}}

, gibt es einen Homöomorphismus h : C → C {\displaystyle h:{\mathcal {C}}\zu {\mathcal {C}}}

mit h ( x ) = y {\displaystyle h(x)=y}

. Eine explizite Konstruktion von h {\displaystyle h}

lässt sich einfacher beschreiben, wenn wir die Cantor-Menge als einen Produktraum von abzählbar vielen Kopien des diskreten Raums { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} betrachten

. Dann ist die Karte h : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N {\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\zu \{0,1\}^{\mathbb {N} }}

definiert durch h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}

ist ein involutiver Homöomorphismus, der x {\displaystyle x}

und y {\displaystyle y}

.

ErhaltungssatzBearbeiten

Es hat sich gezeigt, dass eine Form des Erhaltungssatzes immer für die Skalierung und Selbstähnlichkeit verantwortlich ist. Im Fall der Cantor-Menge kann man sehen, dass die d f {\displaystyle d_{f}}

th moment (wobei d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}

die fraktale Dimension ist) aller überlebenden Intervalle in jedem Stadium des Konstruktionsprozesses gleich einer Konstante ist, die im Fall der Cantor-Menge gleich eins ist. Wir wissen, dass es N = 2 n {\displaystyle N=2^{n}}

Intervalle der Größe 1 / 3 n {\displaystyle 1/3^{n}}

, die im System an den n {\displaystyle n}

-ten Schritt seiner Konstruktion. Wenn wir dann die überlebenden Intervalle als x 1 , x 2 , … , x 2 n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}

dann die d f {\displaystyle d_{f}}

th moment is x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {\displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}

da x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}

.

Die Hausdorff-Dimension der Cantor-Menge ist gleich ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Topologische und analytische EigenschaftenBearbeiten

Obwohl sich „die“ Cantor-Menge in der Regel auf den oben beschriebenen ursprünglichen, mittleren Cantor-Raum bezieht, sprechen Topologen oft von „einer“ Cantor-Menge, womit jeder topologische Raum gemeint ist, der homöomorph (topologisch äquivalent) zu ihr ist.

Wie das obige Summationsargument zeigt, ist die Cantor-Menge nicht abzählbar, hat aber das Lebesgue-Maß 0. Da die Cantor-Menge das Komplement einer Vereinigung offener Mengen ist, ist sie selbst eine geschlossene Teilmenge der Reellen und damit ein vollständiger metrischer Raum. Da sie außerdem total begrenzt ist, besagt der Heine-Borel-Satz, dass sie kompakt sein muss.

Für jeden Punkt der Cantor-Menge und jede beliebig kleine Nachbarschaft des Punktes gibt es eine andere Zahl, deren Ternärzahl nur aus 0en und 2en besteht, sowie Zahlen, deren Ternärzahl 1en enthält. Daher ist jeder Punkt der Cantor-Menge ein Akkumulationspunkt (auch Clusterpunkt oder Grenzpunkt genannt) der Cantor-Menge, aber keiner ist ein Innenpunkt. Eine geschlossene Menge, in der jeder Punkt ein Häufungspunkt ist, wird in der Topologie auch als perfekte Menge bezeichnet, während eine geschlossene Teilmenge des Intervalls ohne innere Punkte nirgendwo im Intervall dicht ist.

Jeder Punkt der Cantor-Menge ist auch ein Häufungspunkt des Komplements der Cantor-Menge.

Für zwei beliebige Punkte in der Cantor-Menge gibt es eine ternäre Ziffer, in der sie sich unterscheiden – einer hat 0 und der andere 2. Indem man die Cantor-Menge je nach dem Wert dieser Ziffer in „Hälften“ teilt, erhält man eine Partition der Cantor-Menge in zwei geschlossene Mengen, die die beiden ursprünglichen Punkte trennen. In der relativen Topologie der Cantor-Menge wurden die Punkte durch eine geschlossene Menge getrennt. Folglich ist die Cantor-Menge total unzusammenhängend. Als kompakter, total unzusammenhängender Hausdorff-Raum ist die Cantor-Menge ein Beispiel für einen Stone-Raum.

Als topologischer Raum ist die Cantor-Menge natürlich homöomorph zu dem Produkt aus abzählbar vielen Kopien des Raums { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}

, wobei jede Kopie die diskrete Topologie trägt. Dies ist der Raum aller zweistelligen Folgen 2 N = { ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } für n ∈ N } {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\in \{0,1\}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} \}}

,

die auch mit der Menge der 2-adischen ganzen Zahlen identifiziert werden kann. Die Basis für die offenen Mengen der Produkttopologie sind Zylindermengen; der Homöomorphismus bildet diese auf die Unterraumtopologie ab, die die Cantor-Menge von der natürlichen Topologie auf der reellen Zahlengeraden erbt. Diese Charakterisierung des Cantor-Raums als Produkt kompakter Räume liefert über den Satz von Tychonoff einen zweiten Beweis dafür, dass der Cantor-Raum kompakt ist.

Aus der obigen Charakterisierung ist die Cantor-Menge homöomorph zu den p-adischen ganzen Zahlen, und, wenn man einen Punkt aus ihr entfernt, zu den p-adischen Zahlen.

Die Cantor-Menge ist eine Teilmenge der Reellen, die ein metrischer Raum in Bezug auf die gewöhnliche Abstandsmetrik ist; daher ist die Cantor-Menge selbst ein metrischer Raum, wenn man dieselbe Metrik verwendet. Alternativ kann man auch die p-adische Metrik auf 2 N {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}

: gegeben zwei Folgen ( x n ) , ( y n ) ∈ 2 N {\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }}

, ist der Abstand zwischen ihnen d ( ( x n ) , ( y n ) ) = 2 – k {\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}

, wobei k {\displaystyle k}

der kleinste Index ist, so dass x k ≠ y k {\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}

; wenn es keinen solchen Index gibt, dann sind die beiden Folgen gleich, und man definiert den Abstand als Null. Diese beiden Metriken erzeugen die gleiche Topologie auf der Cantor-Menge.

Wir haben oben gesehen, dass die Cantor-Menge ein völlig unzusammenhängender perfekter kompakter metrischer Raum ist. In gewissem Sinne ist sie sogar der einzige: Jeder nichtleere vollkommen unzusammenhängende perfekte kompakte metrische Raum ist homöomorph zur Cantor-Menge. Siehe Cantor-Raum für weitere Informationen über Räume, die zur Cantor-Menge homöomorph sind.

Die Cantor-Menge wird manchmal als „universell“ in der Kategorie der kompakten metrischen Räume betrachtet, da jeder kompakte metrische Raum ein kontinuierliches Bild der Cantor-Menge ist; diese Konstruktion ist jedoch nicht eindeutig, so dass die Cantor-Menge nicht im genauen kategorialen Sinne universell ist. Die „universelle“ Eigenschaft hat wichtige Anwendungen in der Funktionalanalysis, wo sie manchmal als Repräsentationstheorem für kompakte metrische Räume bekannt ist.

Für jede ganze Zahl q ≥ 2 ist die Topologie der Gruppe G=Zqω (die abzählbare direkte Summe) diskret. Obwohl der Pontrjagin-Dual Γ ebenfalls Zqω ist, ist die Topologie von Γ kompakt. Man kann sehen, dass Γ völlig unzusammenhängend und perfekt ist – es ist also homöomorph zur Cantor-Menge. Es ist am einfachsten, den Homöomorphismus für den Fall q=2 explizit auszuschreiben. (Siehe Rudin 1962, S. 40.)

Der geometrische Mittelwert der Cantor-Menge ist ungefähr 0,274974.

Maß und WahrscheinlichkeitBearbeiten

Die Cantor-Menge kann als kompakte Gruppe von binären Folgen betrachtet werden, und als solche ist sie mit einem natürlichen Haar-Maß ausgestattet. Wenn man sie so normalisiert, dass das Maß der Menge 1 ist, ist sie ein Modell für eine unendliche Folge von Münzwürfen. Außerdem kann man zeigen, dass das übliche Lebesgue-Maß auf dem Intervall ein Abbild des Haar-Maßes auf der Cantor-Menge ist, während die natürliche Injektion in die ternäre Menge ein kanonisches Beispiel für ein singuläres Maß ist. Es kann auch gezeigt werden, dass das Haar-Maß ein Bild jeder Wahrscheinlichkeit ist, was die Cantor-Menge in gewisser Weise zu einem universellen Wahrscheinlichkeitsraum macht.

In der Lebesgue-Maßtheorie ist die Cantor-Menge ein Beispiel für eine Menge, die nicht abzählbar ist und ein Nullmaß hat.

Cantor-ZahlenBearbeiten

Wenn wir eine Cantor-Zahl als ein Mitglied der Cantor-Menge definieren, dann

• (1) Jede reelle Zahl in ist die Summe von zwei Cantor-Zahlen.
• (2) Zwischen zwei beliebigen Cantor-Zahlen gibt es eine Zahl, die keine Cantor-Zahl ist.

Beschreibende MengenlehreEdit

Die Cantor-Menge ist eine magere Menge (oder eine Menge erster Kategorie) als Teilmenge von (allerdings nicht als Teilmenge von sich selbst, da sie ein Baire-Raum ist). Die Cantor-Menge zeigt also, dass die Begriffe „Größe“ im Sinne von Kardinalität, Maß und (Baire-)Kategorie nicht übereinstimmen müssen. Wie die Menge Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, die Cantor-Menge C {\displaystyle {\mathcal {C}}

ist „klein“ in dem Sinne, dass sie eine Nullmenge (eine Menge mit dem Maß Null) und eine magere Teilmenge von ist. Allerdings ist sie im Gegensatz zu Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, die abzählbar ist und eine „kleine“ Kardinalität hat, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}

, die Kardinalität von C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

ist die gleiche wie die von , das Kontinuum c {\displaystyle {\mathfrak {c}}

, und ist „groß“ im Sinne der Kardinalität. In der Tat ist es auch möglich, eine Teilmenge von zu konstruieren, die mager ist, aber ein positives Maß hat, und eine Teilmenge, die nicht mager ist, aber das Maß Null hat: Indem man die abzählbare Vereinigung der „fetten“ Cantor-Mengen C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}

mit dem Maß λ = ( n – 1 ) / n {\displaystyle \lambda =(n-1)/n}

(siehe Smith-Volterra-Cantor Menge unten für die Konstruktion), erhalten wir eine Menge A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}

, die ein positives Maß hat (gleich 1), aber dürftig ist in , da jedes C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}

nirgends dicht ist. Dann betrachte die Menge A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}

. Da A ∪ A c = {\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}

kann nicht mager sein, aber da μ ( A ) = 1 {\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}

muss das Maß Null haben.