Briscoes Vater, Kevin, erlaubte Briscoe zunächst nicht, Rennen zu fahren. Später lenkte er ein und erlaubte Chase, Rennen zu fahren, um die Zeit mit der Familie zu verbringen. Fünf Jahre später kehrte er zum Rennsport zurück und fuhr im Alter von 13 Jahren 410 Sprint Cars. In diesem Jahr erreichte er 17 Top-Ten-Platzierungen und einen Sieg beim letzten Rennen der Saison; er wurde der jüngste Fahrer, der ein 410-Sprint-Car-Rennen gewann, und übertraf den Rekord von NASCAR-Champion Jeff Gordon um ein Jahr, obwohl er mit einem Motor aus dem Jahr 1993 fuhr.
Im Jahr 2013 bewarb sich Briscoe für die Peak Stock Car Dream Challenge, einen Wettbewerb, bei dem der Gewinner mit einer Fahrt bei Michael Waltrip Racing belohnt wurde. Obwohl er die meisten Rennen auf der Strecke gewann, belegte er bei der Challenge den zweiten Platz hinter Patrick Staropoli. Der damalige Geschäftsführer von Michael Waltrip Racing, Ty Norris, sagte Briscoe im Nachhinein, dass er die Challenge zwar nicht gewonnen habe, aber dennoch eine Rennkarriere anstreben solle. Später im Jahr gab er sein Debüt in der NASCAR K&N Pro Series West auf dem NAPA Speedway, wo er Achter wurde. In dieser Saison bestritt er noch zwei weitere Rennen in der Serie und belegte die Plätze 13 und 27 im Kern County Raceway Park und auf dem Phoenix International Raceway. Briscoe zog 2014 von Indiana nach Charlotte, North Carolina, in der Hoffnung, dort Kontakte in der Rennsportwelt zu knüpfen.
Im Jahr 2015 wurde Briscoe von seinem Freund und Fahrer Christopher Bell bezüglich eines Vertrags mit Roush Fenway Racing kontaktiert, was zu einer Testsitzung mit dem ARCA Racing Series Team Cunningham Motorsports führte. Teambesitzer Kerry Scherer rief Briscoe wegen der Tests an, während Briscoe von Charlotte zurück nach Indiana fuhr, nachdem er seine Rennkarriere aufgegeben hatte. Nach zwei Tests auf dem Mobile International Speedway und dem Fairgrounds Speedway gab er sein ARCA-Debüt auf dem Lucas Oil Raceway in Indianapolis, wo er Zehnter wurde. Bei seinem zweiten ARCA-Start auf dem Salem Speedway qualifizierte er sich als Siebter und wurde später Fünfter. Gegen Ende der Saison 2015 schloss Briscoe eine persönliche Freundschaft mit Briggs Cunningham III. und bekam ein Angebot für die gesamte Saison 2016, das Briscoe annahm. Er gewann im Laufe der Saison sechs Rennen und gewann die Meisterschaft 2016 mit 535 Punkten Vorsprung auf den Zweitplatzierten Tom Hessert.
Truck SeriesEdit
2017 schloss sich Briscoe dem neu gegründeten Ford Performance NASCAR Driver Development Program und dem Camping World Truck Series-Team Brad Keselowski Racing an und fuhr den No. 29 Cooper Standard Ford F-150 in Vollzeit. Bei seinem Debüt in der Truck Series belegte Briscoe in Daytona den dritten Platz, nachdem er in der letzten Runde einen gewaltigen Unfall vermeiden konnte und fast den ganzen Tag in den Top Ten lag. Auf dem Dover International Speedway holte sich Briscoe zum ersten Mal in seiner Karriere die Pole-Position für die Truck Series und beendete das Rennen auf Platz 12. Später in der Saison errang Briscoe auf dem Homestead-Miami Speedway seinen ersten Karrieresieg. Er wurde 2017 zum beliebtesten Fahrer der Truck Series gewählt. BKR schloss nach der Saison und ließ Briscoe ohne einen Fahrer zurück. Vor der Saison 2017 wurde Briscoe ein Angebot von Hendrick Motorsports unterbreitet, brachte aber nicht genug Sponsorengelder mit, um das Angebot anzunehmen.
Briscoe kehrte 2018 in die Truck Series zurück, fuhr den Truck mit der Nummer 27 für ThorSport Racing auf dem Eldora Speedway und gewann in einem Fotofinish vor Teamkollege Grant Enfinger. Im darauffolgenden Jahr kehrte er für das Dirt Derby 2019 zu ThorSport zurück und belegte den 7. Platz.
Im Jahr 2021 schloss sich Briscoe dem Team Roper Racing für das Dirt Race in Bristol an.
Xfinity SeriesEdit
Im Jahr 2018 fuhr Briscoe einen Teilzeitplan in der NASCAR Xfinity Series. Briscoe fuhr Rennen sowohl im No. 60 Ford von Roush Fenway Racing als auch im No. 98 Ford von Stewart-Haas Racing. Später in diesem Jahr gewann Briscoe das erste Xfinity-Rennen auf dem Charlotte Roval, nachdem er sich gegen Justin Marks und Austin Cindric durchgesetzt hatte.
Briscoe verpflichtete sich für einen Vollzeit-Xfinity-Zeitplan in SHRs No. 98 im Jahr 2019. Im Juli holte Briscoe auf dem Iowa Speedway seinen zweiten Sieg in der Xfinity Series. Er qualifizierte sich für die NASCAR Xfinity Series Playoffs 2019, nachdem er zehn Mal in Folge in den Top 10 gelandet war. Briscoe beendete die Saison 2019 als Fünfter in den Punkten, nachdem er in Homestead Dritter geworden war.
Nachdem Probleme mit dem Sponsoring Briscoe aus dem Rennen zu nehmen drohten, sicherte er sich genügend finanzielle Mittel, um die Saison 2020 in der NASCAR Xfinity Series zu fahren. Briscoe gewann das vom Regen verschobene Boyd Gaming 300 auf dem Las Vegas Motor Speedway; er führte 27 von 50 Runden an, bevor das Wetter die Verschiebung des restlichen Rennens erzwang, und legte am Sonntag 62 Runden nach, so dass er auf dem Weg zum Sieg insgesamt 89 Runden führte. In Darlington, nachdem seine Frau eine Fehlgeburt erlitten hatte, holte Briscoe seinen vierten Sieg in der Xfinity Series, nachdem er sich gegen Kyle Busch durchgesetzt hatte.
Cup SeriesEdit
Am 20. Oktober 2020 gab Stewart-Haas Racing bekannt, dass Briscoe im Jahr 2021 in die Cup Series aufsteigen und Clint Bowyer im No. 14 Ford Mustang ersetzen wird. HighPoint.com, das Briscoes Xfinity-Auto gesponsert hatte, folgte ihm in das Cup-Team.