Mit dem Aufkommen des Rock’n’Roll erwarb Norman im Alter von sieben Jahren seine erste Gitarre. Seine frühen musikalischen Einflüsse waren Elvis Presley, Little Richard und Lonnie Donegan.
In diesen frühen Jahren zogen Normans Eltern viel im Land um, was dazu führte, dass er neun verschiedene Schulen besuchte und an verschiedenen Orten in England lebte, wie Redcar, Luton, Kimpton und Nottingham. Im Jahr 1962 zog die Familie jedoch zurück in die Heimatstadt von Normans Mutter, Bradford. An seinem zwölften Geburtstag wurde Norman in die St. Bede’s Grammar School eingeschult, wo er Alan Silson und Terry Uttley kennenlernte, die späteren Mitglieder von Smokie.
Als Teenager, beeinflusst von der neuen Ära von Gruppen wie den Beatles und den Rolling Stones und dem damaligen Folksänger Bob Dylan, begannen Norman und Silson, sich zu treffen und verbrachten fast ihre gesamte Freizeit damit, neue Songs auf ihren Gitarren zu lernen. Es gelang ihnen, Uttley zu überreden, sich ihnen anzuschließen, und zusammen mit einem befreundeten Schlagzeuger namens Ron Kelly gründeten sie ihre erste Band. The Yen, Essence und Long Side Down waren nur einige der vielen Namen, die sie sich gaben, bevor sie sich für The Elizabethans“ entschieden. Als Ron Kelly die Gruppe 1973 verließ, wurde ein alter Freund namens Pete Spencer gebeten, das Schlagzeug zu übernehmen, und die Gruppe, aus der Smokie werden sollte, war komplett.
Zwischen 1974 und den frühen 1980er Jahren tourte Smokie erfolgreich durch die ganze Welt, aber die Belastung und der Druck, ständig von zu Hause und der Familie weg zu sein, machten Norman zu schaffen. In den frühen 1980er Jahren beschloss er, mehr Zeit mit dem Schreiben und der Arbeit im Studio zu verbringen. Norman und Spencer arbeiteten nun gemeinsam an Songs für andere Künstler, darunter Hits für Kevin Keegan („Head Over Heels in Love“, ein Nr. 31-Hit in Großbritannien) und den Song der englischen Fußballmannschaft „This Time (We’ll Get It Right)“. Er arbeitete auch mit Agnetha Fältskog (auf ihrem Soloalbum), Racey (Co-Autor von „Baby It’s You“), Donovan (Backing Vocals auf Donovan) und Heavy Metal Kids.
1978 nahm Norman ein Duett mit Suzi Quatro auf, „Stumblin‘ In“, das Platz 4 der US Billboard Hot 100 erreichte. Stumblin In“ erreichte Platz 4 der US Billboard Hot 100 und verkaufte sich über eine Million Mal.
Normans Solokarriere begann 1986 mit dem Song „Midnight Lady“, der in ganz Europa ein Hit war und in Deutschland sechs Wochen lang auf Platz 1 stand (wo er 900.000 Mal verkauft wurde). Weitere Erfolge folgten mit den Songs „Some Hearts Are Diamonds“, „No Arms Can Ever Hold You“, „Broken Heroes“, „Fearless Hearts“, „Sarah“ und „Baby I Miss You“. 1994 wurde Norman von CMT Europe als „International Video Star of the Year“ ausgezeichnet.
2004 nahm er an der Comeback Show des deutschen Fernsehsenders ProSieben teil und sang „Stumblin‘ In“ im Duett mit C. C. Catch. In der letzten Folge der Show wurde er für den letzten Song von Smokie begleitet.
Am 2. Juni 2007 trat Norman auf dem Peel Bay Festival auf der Isle of Man auf.