SeismologieBearbeiten
Das Konzept der Dekonvolution fand schon früh Anwendung in der Reflexionsseismologie. Im Jahr 1950 war Enders Robinson Doktorand am MIT. In Zusammenarbeit mit anderen MIT-Mitarbeitern wie Norbert Wiener, Norman Levinson und dem Wirtschaftswissenschaftler Paul Samuelson entwickelte er das „Faltungsmodell“ eines Reflexionsseismogramms. Dieses Modell geht davon aus, dass das aufgezeichnete Seismogramm s(t) die Faltung einer Erdreflexionsfunktion e(t) und eines seismischen Wavelets w(t) von einer Punktquelle ist, wobei t die Aufnahmezeit darstellt. Unsere Faltungsgleichung lautet also
s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {s(t)=(e*w)(t).\,}
Der Seismologe interessiert sich für e, das Informationen über die Struktur der Erde enthält. Durch den Faltungstheorem kann diese Gleichung Fouriertransformiert werden zu
S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {\displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\,}
im Frequenzbereich, wobei ω {\displaystyle \omega }
die Frequenzvariable ist. Unter der Annahme, dass die Reflektivität weiß ist, können wir davon ausgehen, dass das Leistungsspektrum der Reflektivität konstant ist, und dass das Leistungsspektrum des Seismogramms das Spektrum des Wavelets multipliziert mit dieser Konstante ist. Somit ist | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {|S(\omega )|\approx k|W(\omega )|.\,}
Wenn wir annehmen, dass das Wavelet minimalphasig ist, können wir es durch Berechnung des minimalphasigen Äquivalents des soeben gefundenen Leistungsspektrums wiederherstellen. Die Reflektivität kann wiederhergestellt werden, indem man einen Wiener-Filter entwirft und anwendet, der das geschätzte Wavelet zu einer Dirac-Delta-Funktion (d.h. zu einem Spike) formt. Das Ergebnis kann als eine Reihe von skalierten, verschobenen Deltafunktionen betrachtet werden (obwohl dies mathematisch nicht streng ist):
e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),}
wobei N die Anzahl der Reflexionsereignisse ist, r i {\displaystyle r_{i}}
sind die Reflexionskoeffizienten, t – τ i {\displaystyle t-\tau _{i}}
sind die Reflexionszeiten der einzelnen Ereignisse, und δ {\displaystyle \delta }
ist die Dirac-Delta-Funktion.
Da wir es in der Praxis mit verrauschten, endlich breitbandigen, endlich langen, diskret abgetasteten Datensätzen zu tun haben, liefert das obige Verfahren nur eine Annäherung an den Filter, der zur Entfaltung der Daten erforderlich ist. Durch die Formulierung des Problems als Lösung einer Toeplitz-Matrix und die Verwendung der Levinson-Rekursion können wir jedoch relativ schnell einen Filter mit dem kleinstmöglichen mittleren quadratischen Fehler schätzen. Wir können die Dekonvolution auch direkt im Frequenzbereich durchführen und erhalten ähnliche Ergebnisse. Die Technik ist eng mit der linearen Vorhersage verwandt.
Optik und andere bildgebende VerfahrenBearbeiten
In der Optik und Bildgebung bezeichnet der Begriff „Entfaltung“ den Prozess der Umkehrung der optischen Verzerrung, die in einem Lichtmikroskop, Elektronenmikroskop, Teleskop oder einem anderen bildgebenden Instrument auftritt, wodurch klarere Bilder entstehen. Dies geschieht in der Regel im digitalen Bereich durch einen Software-Algorithmus als Teil einer Reihe von Mikroskop-Bildverarbeitungstechniken. Die Entfaltung ist auch praktisch, um Bilder zu schärfen, die durch schnelle Bewegungen oder Verwacklungen während der Aufnahme beeinträchtigt werden. Frühe Bilder des Hubble-Weltraumteleskops waren durch einen fehlerhaften Spiegel verzerrt und wurden durch Entfaltung geschärft.
Bei der üblichen Methode wird davon ausgegangen, dass der optische Pfad durch das Instrument optisch perfekt ist, gefaltet mit einer Punktausbreitungsfunktion (PSF), d. h. einer mathematischen Funktion, die die Verzerrung in Form des Weges beschreibt, den eine theoretische Punktlichtquelle (oder andere Wellen) durch das Instrument nimmt. Normalerweise trägt eine solche Punktquelle einen kleinen Bereich der Unschärfe zum endgültigen Bild bei. Wenn diese Funktion bestimmt werden kann, muss ihre Umkehr- oder Komplementärfunktion berechnet und das aufgenommene Bild mit dieser Funktion gefaltet werden. Das Ergebnis ist das ursprüngliche, unverzerrte Bild.
In der Praxis ist es unmöglich, die wahre PSF zu finden, und in der Regel wird eine Annäherung an sie verwendet, die theoretisch berechnet wird oder auf einer experimentellen Schätzung unter Verwendung bekannter Sonden beruht. Reale Optiken können auch unterschiedliche PSFs an verschiedenen fokalen und räumlichen Orten haben, und die PSF kann nichtlinear sein. Die Genauigkeit der Annäherung an die PSF bestimmt das Endergebnis. Um bessere Ergebnisse zu erzielen, können verschiedene Algorithmen eingesetzt werden, die allerdings rechenintensiver sind. Da die ursprüngliche Faltung Daten verwirft, verwenden einige Algorithmen zusätzliche Daten, die an nahe gelegenen Brennpunkten erfasst werden, um einen Teil der verlorenen Informationen wiederherzustellen. Regularisierung in iterativen Algorithmen (wie in Erwartungsmaximierungsalgorithmen) kann angewandt werden, um unrealistische Lösungen zu vermeiden.
Wenn die PSF unbekannt ist, kann es möglich sein, sie durch systematisches Ausprobieren verschiedener möglicher PSFs abzuleiten und zu beurteilen, ob sich das Bild verbessert hat. Dieses Verfahren wird als blinde Dekonvolution bezeichnet. Die blinde Dekonvolution ist ein bewährtes Verfahren zur Bildrestaurierung in der Astronomie, wo die Punktnatur der fotografierten Objekte die PSF offenlegt und damit die Durchführbarkeit erleichtert. Sie wird auch in der Fluoreszenzmikroskopie zur Bildwiederherstellung und in der Fluoreszenzspektralbildgebung zur spektralen Trennung mehrerer unbekannter Fluorophore eingesetzt. Der gebräuchlichste iterative Algorithmus für diesen Zweck ist der Richardson-Lucy-Entfaltungsalgorithmus; die Wiener-Entfaltung (und Näherungen) sind die gebräuchlichsten nicht-iterativen Algorithmen.
Für einige spezielle bildgebende Systeme, wie z.B. lasergepulste Terahertz-Systeme, kann die PSF mathematisch modelliert werden. Infolgedessen kann, wie in der Abbildung gezeigt, die Entfaltung der modellierten PSF und des Terahertz-Bildes eine höher aufgelöste Darstellung des Terahertz-Bildes ergeben.
RadioastronomieBearbeiten
Bei der Bildsynthese in der Radiointerferometrie, einer speziellen Art der Radioastronomie, besteht ein Schritt in der Entfaltung des erzeugten Bildes mit dem „schmutzigen Strahl“, was eine andere Bezeichnung für die Punktspreizfunktion ist. Eine häufig verwendete Methode ist der CLEAN-Algorithmus.
AbsorptionsspektrenEdit
Die Entfaltung wurde in großem Umfang auf Absorptionsspektren angewendet. Der Van-Cittert-Algorithmus kann verwendet werden.
Fourier-TransformationsaspekteBearbeiten
Die Entfaltung entspricht einer Division im Fourier-Ko-Bereich. Dadurch kann die Entfaltung leicht auf experimentelle Daten angewendet werden, die einer Fouriertransformation unterliegen. Ein Beispiel ist die NMR-Spektroskopie, bei der die Daten im Zeitbereich aufgezeichnet, aber im Frequenzbereich analysiert werden. Die Division der Daten im Zeitbereich durch eine Exponentialfunktion hat den Effekt, dass die Breite der Lorenzlinien im Frequenzbereich verringert wird.