Eigenschaften von Mengen unter einer Operation
Mathematiker sind oft daran interessiert, ob bestimmte Mengen unter einer bestimmten Operation bestimmte Eigenschaften haben oder nicht. Ein Grund für das Interesse der Mathematiker an dieser Frage war, dass sie damit feststellen konnten, wann Gleichungen Lösungen haben. Wenn eine Menge unter einer bestimmten Operation bestimmte allgemeine Eigenschaften hat, dann können wir zum Beispiel lineare Gleichungen in dieser Menge lösen.
Es gibt mehrere wichtige Eigenschaften, die eine Menge unter einer bestimmten Operation erfüllen oder nicht erfüllen kann. Eine Eigenschaft ist eine bestimmte Regel, die gilt, wenn sie für alle Elemente einer Menge unter der gegebenen Operation wahr ist, und eine Eigenschaft gilt nicht, wenn es mindestens ein Paar von Elementen gibt, die die Eigenschaft unter der gegebenen Operation nicht erfüllen.
Wenn man auf diese abstrakte Weise über Eigenschaften spricht, macht das noch nicht wirklich Sinn, also schauen wir uns einige Beispiele für Eigenschaften an, damit man besser versteht, was sie sind. In dieser Vorlesung werden wir etwas über die Eigenschaft „Abschluss“ lernen.
Die Eigenschaft des Abschlusses
Eine Menge hat die Eigenschaft des Abschlusses unter einer bestimmten Operation, wenn das Ergebnis der Operation immer ein Element der Menge ist. Wenn eine Menge unter einer bestimmten Operation die Abschlusseigenschaft hat, dann sagt man, dass die Menge „unter der Operation abgeschlossen ist.“
Es ist viel einfacher, eine Eigenschaft zu verstehen, wenn man sich Beispiele anschaut, als wenn man einfach nur abstrakt darüber spricht, also lassen Sie uns mit der Betrachtung von Beispielen fortfahren, damit Sie genau sehen können, wovon wir sprechen, wenn wir sagen, dass eine Menge die Schließeigenschaft hat:
Zunächst betrachten wir ein paar unendliche Mengen mit Operationen, die uns bereits bekannt sind:
a) Die Menge der ganzen Zahlen ist durch die Operation der Addition abgeschlossen, weil die Summe zweier ganzer Zahlen immer eine weitere ganze Zahl ist und daher in der Menge der ganzen Zahlen enthalten ist.
b) Die Menge der ganzen Zahlen ist bei der Division nicht geschlossen, denn wenn man eine ganze Zahl durch eine andere teilt, erhält man nicht immer eine andere ganze Zahl als Antwort. Zum Beispiel sind 4 und 9 beides ganze Zahlen, aber 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 ist keine ganze Zahl und gehört daher nicht zur Menge der ganzen Zahlen!
Weitere Beispiele für unendliche Mengen, die die Abschlusseigenschaft erfüllen und nicht erfüllen.
c) Die Menge der rationalen Zahlen ist durch die Multiplikation abgeschlossen, weil das Produkt zweier rationaler Zahlen immer eine andere rationale Zahl ist und daher in der Menge der rationalen Zahlen enthalten ist. Das liegt daran, dass die Multiplikation zweier Brüche immer einen anderen Bruch als Ergebnis liefert, da das Produkt zweier Brüche a/b und c/d das Ergebnis ac/bd ergibt. Die einzige Möglichkeit, dass ac/bd kein Bruch ist, besteht darin, dass bd gleich 0 ist. Wenn aber a/b und c/d beides Brüche sind, bedeutet das, dass weder b noch d 0 ist, also kann bd nicht 0 sein.
d) Die Menge der natürlichen Zahlen ist bei der Subtraktion nicht geschlossen, denn wenn man eine natürliche Zahl von einer anderen subtrahiert, erhält man nicht immer eine andere natürliche Zahl. Zum Beispiel sind 5 und 16 beides natürliche Zahlen, aber 5 – 16 = – 11. – 11 ist keine natürliche Zahl, also ist sie nicht in der Menge der natürlichen Zahlen!
Nun schauen wir uns ein paar Beispiele für endliche Mengen mit Operationen an, die uns vielleicht nicht vertraut sind:
e) Die Menge {1,2,3,4} ist nicht geschlossen unter der Operation der Addition, weil 2 + 3 = 5 ist, und 5 ist kein Element der Menge {1,2,3,4}.
Das sehen wir auch, wenn wir uns die Operationstabelle für die Menge {1,2,3,4} unter der Operation der Addition ansehen:
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+ |
||||
Die Menge{1,2,3,4} ist nicht geschlossen unter der Operation +, weil es mindestens ein Ergebnis gibt (alle Ergebnisse sind orange schattiert), das kein Element der Menge {1,2,3,4} ist. Die Tabelle enthält die Ergebnisse 5, 6, 7 und 8, von denen keines ein Element der Menge {1,2,3,4} ist!
f) Die Menge {a,b,c,d,e} hat die folgende Operationstabelle für die Operation *:
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* |
a |
b |
c |
d |
e |
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a |
b |
c |
e |
a |
d |
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b |
d |
a |
c |
b |
e |
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c |
c |
d |
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e |
a |
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d |
a |
e |
d |
c |
b |
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e |
e |
b |
a |
d |
c |
Die Menge{a,b,c,d,e} ist unter der Operation * geschlossen, weil alle Ergebnisse (die orange schattiert sind) Elemente in der Menge {a,b,c,d,e} sind.
Ein weiteres Beispiel.
g) Die Menge {a,b,c,d,e} hat die folgende Operationstabelle für die Operation $:
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a |
b |
c |
d |
e |
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a |
b |
f |
e |
a |
h |
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d |
a |
c |
h |
e |
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c |
c |
d |
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g |
a |
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d |
g |
e |
d |
c |
b |
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e |
e |
b |
h |
d |
c |
Die Menge{a,b,c,d,e} ist nicht geschlossen unter der Operation $, weil es mindestens ein Ergebnis gibt (alle Ergebnisse sind orange schattiert), das kein Element der Menge {a,b,c,d,e} ist. Zum Beispiel ist laut der Tabelle a$b=f. Aber f ist kein Element von {a,b,c,d,e}!