In der Mathematik werden Gegenbeispiele oft verwendet, um die Grenzen möglicher Theoreme zu beweisen. Indem man Gegenbeispiele verwendet, um zu zeigen, dass bestimmte Vermutungen falsch sind, können mathematische Forscher vermeiden, in Sackgassen zu geraten, und lernen, Vermutungen zu modifizieren, um beweisbare Theoreme zu produzieren. Es wird manchmal gesagt, dass die mathematische Entwicklung in erster Linie darin besteht, Theoreme und Gegenbeispiele zu finden (und zu beweisen).
Beispiel RechteckBearbeiten
Angenommen, eine Mathematikerin untersucht Geometrie und Formen und möchte bestimmte Theoreme darüber beweisen. Sie vermutet, dass „Alle Rechtecke sind Quadrate“, und sie möchte wissen, ob diese Aussage wahr oder falsch ist.
In diesem Fall kann sie entweder versuchen, die Wahrheit der Aussage durch deduktives Denken zu beweisen, oder sie kann versuchen, ein Gegenbeispiel für die Aussage zu finden, wenn sie vermutet, dass sie falsch ist. Im letzteren Fall wäre ein Gegenbeispiel ein Rechteck, das kein Quadrat ist, z. B. ein Rechteck mit zwei Seiten der Länge 5 und zwei Seiten der Länge 7. Aber obwohl sie Rechtecke gefunden hat, die keine Quadrate sind, hatten alle gefundenen Rechtecke vier Seiten. Daraufhin stellt sie die neue Vermutung auf: „Alle Rechtecke haben vier Seiten“. Diese ist logisch schwächer als ihre ursprüngliche Vermutung, da jedes Quadrat vier Seiten hat, aber nicht jede vierseitige Form ein Quadrat ist.
Das obige Beispiel erklärt – in vereinfachter Form – wie ein Mathematiker seine Vermutung angesichts von Gegenbeispielen abschwächen kann, aber Gegenbeispiele können auch dazu verwendet werden, die Notwendigkeit bestimmter Annahmen und Hypothesen zu demonstrieren. Nehmen wir zum Beispiel an, dass der oben genannte Mathematiker sich nach einer Weile auf die neue Vermutung „Alle Formen, die Rechtecke sind und vier gleich lange Seiten haben, sind Quadrate“ geeinigt hat. Diese Vermutung besteht aus zwei Teilen der Hypothese: Die Form muss „ein Rechteck“ sein und „vier gleich lange Seiten“ haben. Die Mathematikerin möchte nun wissen, ob sie eine der beiden Annahmen streichen kann, ohne dass ihre Vermutung verfälscht wird. Das bedeutet, dass sie den Wahrheitsgehalt der folgenden beiden Aussagen überprüfen muss:
- „Alle Formen, die Rechtecke sind, sind Quadrate.“
- „Alle Formen, die vier gleich lange Seiten haben, sind Quadrate“.
Ein Gegenbeispiel zu (1) wurde bereits oben genannt, und ein Gegenbeispiel zu (2) ist ein nicht-quadratischer Rhombus. Somit weiß der Mathematiker nun, dass beide Annahmen tatsächlich notwendig waren.
Andere mathematische BeispieleBearbeiten
Ein Gegenbeispiel zu der Aussage „alle Primzahlen sind ungerade Zahlen“ ist die Zahl 2, da sie eine Primzahl ist, aber keine ungerade Zahl. Weder die Zahl 7 noch die Zahl 10 sind ein Gegenbeispiel, da sie beide nicht ausreichen, um die Aussage zu widerlegen. In diesem Beispiel ist 2 tatsächlich das einzige mögliche Gegenbeispiel zu der Aussage, obwohl dies allein schon ausreicht, um die Aussage zu widerlegen. In ähnlicher Weise hat die Aussage „Alle natürlichen Zahlen sind entweder prim oder zusammengesetzt“ die Zahl 1 als Gegenbeispiel, da 1 weder prim noch zusammengesetzt ist.
Eulers Potenzsummenvermutung wurde durch ein Gegenbeispiel widerlegt. Sie besagte, dass mindestens n n-te Potenzen notwendig sind, um eine weitere n-te Potenz zu summieren. Diese Vermutung wurde 1966 durch ein Gegenbeispiel mit n = 5 widerlegt; weitere n = 5-Gegenbeispiele sind inzwischen bekannt, ebenso wie einige n = 4-Gegenbeispiele.
Witsenhausens Gegenbeispiel zeigt, dass es (für Steuerungsprobleme) nicht immer wahr ist, dass eine quadratische Verlustfunktion und eine lineare Entwicklungsgleichung der Zustandsvariablen optimale Steuerungsgesetze implizieren, die linear sind.
Weitere Beispiele sind die Widerlegung der Seifert-Vermutung, der Pólya-Vermutung, der Vermutung des vierzehnten Hilbert-Problems, der Tait-Vermutung und der Ganea-Vermutung.