Berechnung der Gravitationskonstante, mit zugehörigem Apparatemodell.
Was es zeigt
Die Gravitationsanziehung zwischen Bleikugeln. Die Daten aus der Demonstration können auch zur Berechnung der universellen Gravitationskonstante G verwendet werden.
Foto mit freundlicher Genehmigung von Clive Grainger
Wie es funktioniert
Der Cavendish-Apparat besteht im Wesentlichen aus zwei Kugelpaaren, die jeweils Hanteln mit einer gemeinsamen Drehachse bilden (Abbildung 1). Eine Hantel ist an einer Quarzfaser aufgehängt und kann sich frei drehen, indem sie die Faser verdreht; der Grad der Verdrehung wird anhand der Position eines von einem an der Faser befestigten Spiegel reflektierten Lichtpunkts gemessen. Die zweite Hantel kann so geschwenkt werden, dass sich jede ihrer Kugeln in unmittelbarer Nähe zu einer der Kugeln der anderen Hantel befindet; durch die Anziehungskraft zwischen zwei Gruppen von Kugeln wird die Faser verdreht, und aus der Messung dieser Verdrehung lässt sich die Größe der Gravitationskraft berechnen.
Abbildung 1: Die Zwillingshanteln des Cavendish-Experiments
Die Cavendish-Apparatur, die wir derzeit verwenden, wurde von PASCO gebaut. 1 Die Quarzfaser und die kleinere Hantel sind zum Schutz in einem Metallgehäuse mit Glasfenster untergebracht. Eine Draufsicht auf die Kugeln und die Abmessungen sind in Abbildung 2 dargestellt. Für die Punktreflexion wird ein HeNe-Laser verwendet. Wird die Apparatur quantitativ verwendet, so wird zur Berechnung von G in der Regel die Schwingungszeitmethode angewandt.
Abbildung 2. Draufsicht auf die Anordnung der Doppelhantel
Die große Hantel wird um ihre Achse gedreht, so dass die Kugeln neben den kleineren Kugeln gegen die Glasscheibe drücken (siehe Abbildung 2). Die Anziehungskraft zwischen den Kugeln übt ein Drehmoment auf die Quarzfaser aus, die sich um einen kleinen Winkel verdreht. Die Position des reflektierten Flecks wird notiert, und die große Hantel wird an ihre zweite Position auf der anderen Seite des Glases bewegt; die Gravitationsanziehung verdreht die Faser in die entgegengesetzte Richtung. Die Reaktionszeit des Flecks, um sich zur zweiten Position zu bewegen, und die endgültige Fleckposition werden notiert. Die Geschwindigkeit, mit der die Faser auf die Bewegung reagieren kann, hängt von ihrer Torsionskonstante κ ab, die durch Messung der Schwingungsdauer der Faser berechnet werden kann,
Das durch die Gravitationsanziehung aufgebrachte Drehmoment τ=κθ, wobei θ der maximale Ablenkungswinkel des Lichtpunkts ist. Bei dieser maximalen Ablenkung beträgt die Kraft zwischen einer großen und einer kleinen Kugel
wobei r der Abstand zwischen den Kugelzentren ist. Sie ist mit dem Drehmoment durch τ=F(L/2) verbunden, wobei L die Länge der kleinen Hantel ist. Die Gravitationskonstante kann also berechnet werden durch
Beachte, dass sich das reflektierte Licht um 2θ bewegt, wenn sich der Spiegel um einen Winkel θ dreht. Wenn man also die Hantel umdreht, wird ein Winkel von 4θ gemessen.
Daten für diesen speziellen Apparat sind in Tabelle 1 angegeben.
Tabelle 1. Daten der Cavendish-Apparatur
| Torsionskonstante κ | 3,10 ± 0,10 x 10-8 N m (berechnet aus PASCO-Angaben und direkter Messung) |
| Oszillationsperiode T | 498,2 ± 6,0 s (aus direkter Messung) |
| max. Auslenkungswinkel | weniger als 5 x 10-2 Radianten oder weniger als 3 Grad (aus direkter Messung), wenn große Massen von einer Position zur anderen bewegt werden |
| Gleichgewichtswinkel θ | 5,40 x 10-3 Radianten ± 15% (aus direkter Messung) |
| kleiner Kugelabstand r | aus PASCO spec: 46,5 mm, wenn die große Masse am Gehäuse anliegt und die kleine Kugel sich in der Mittelposition im Gehäuse befindet. Beachten Sie, dass die Genauigkeit dieses Wertes davon abhängt, wie gut die Waage im Gehäuse zentriert ist. |
| große Kugelmasse M | 1500 g (nach Spezifikation) |
| kleine Kugelmasse m | 38,3 ± 0.2 g (aus der Spezifikation) |
| Abstand vom Zentrum der kleinen Masse zur Torsionsachse | 50 mm (aus der Spezifikation) |
Aufbau:
Dieser Versuch verwendet ein sehr empfindliches Gerät, das Geduld und Fingerspitzengefühl erfordert, um es richtig aufzubauen. Schauen Sie sich den Ausdruck der PASCO-Bedienungsanleitung im blauen Ordner „Cavendish-Experiment“ im Aktenschrank an.
- Suchen Sie zunächst eine stabile Plattform und stellen Sie sie in den Hörsaal. Die PASCO-Waage ist sehr empfindlich. Um das Torsionsband während des Transports nicht zu beschädigen, sollte das Gerät vorsichtig in den Hörsaal getragen und auf die Plattform gestellt werden.
- Die Frontplatte der Waage entfernen, um die kleine Hantel und die verstellbaren Tragarme freizulegen, mit denen sie während des Transports fixiert wird. Senken Sie die Tragarme so ab, dass sie nicht mit den Hanteln in Berührung kommen. Stellen Sie die Füße so ein, dass das gesamte Gerät waagerecht steht, und bringen Sie die Frontplatte wieder an.
- Verwenden Sie das gelbe Kabel, um das Gerät elektrisch zu erden. Bringen Sie die großen Massen in die „neutrale“ Position, so dass sie senkrecht zu den kleinen Massen im Inneren stehen.
- Zu diesem Zeitpunkt bewegt sich die Hantel wahrscheinlich ziemlich viel innerhalb des Gehäuses; während sich das Gleichgewicht einpendelt, stellen Sie den Laser im geeigneten Abstand und Winkel für das Publikum auf.
- Die Vibrationen der Hantel werden normalerweise nach etwa 20 Minuten gedämpft. Für einen schnelleren Aufbau können die Bewegungen durch langsames Anheben und Absenken der Haltearme gedämpft werden. Wenn die Hantel nach dem Einschwingen weiterhin abrupt die Richtung ändert, bedeutet dies, dass das Torsionsgleichgewicht des Bandes zu weit von seinem Sollwert abgewichen ist und das Band „genullt“ werden muss.
- Um die Waage zu nullen, lösen Sie zunächst vorsichtig die Rändelschraube, die oben aus der Hauptwelle herausragt. Ebenfalls oben befindet sich der große runde Knopf, der am Gummiband befestigt ist, um die Richtung des Bandes zu ändern (beachten Sie, dass es einen feinen und einen groben Einstellknopf gibt). Warten Sie, bis die Hantel ihre volle Auslenkung in Richtung der gewünschten Einstellung vollzogen hat, um die zusätzlichen Schwingungen zu minimieren. Ziehen Sie die Rändelschraube vorsichtig wieder an (nicht zu fest) und dämpfen Sie die schwingende Hantel nach Bedarf. Wiederholen Sie den Vorgang, bis der Nullpunkt erreicht ist.
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Das Gerät wurde ursprünglich von Rev. John Michell 1795 erfunden, um die Dichte der Erde zu messen, und wurde 1798 von Henry Cavendish modifiziert, um G zu messen. 1785 verwendete Coulomb eine ähnliche Apparatur, um die elektrostatische Kraft zwischen geladenen Markkugeln zu messen. Abgesehen von der historischen Bedeutung des Experiments ist es wirklich toll zu sehen, dass man eine so unglaublich schwache Kraft mit einem so einfachen Gerät messen kann.
In einem Hörsaal ist der Cavendish-Apparat zu klein, als dass die Zuhörer seine Funktionsweise sehen könnten. Ein großes Modell der Hantel und der Faserkomponenten ist eine gute Idee, um zu erklären, was vor sich geht. Wir haben ein solches Modell aus Holz und Messing gebaut, mit Hantelarmlängen von 50 cm und der kleinen Hantel, die an einem Kupferdraht hängt. Die größeren Kugeln aus Holz sind mit Magneten versehen und die kleineren Kugeln aus Styropor haben Stahlkugellager in der Mitte.
1. M.H.Shamos, Great Experiments in Physics, (Henry Holt & Co. New York 1959) S.75, enthält Cavendishs Originalarbeit
2. R.E. Crandall, Am J Phys 54, 367, 1983.
3. J.Cl. Dousse und C. Rheme, Am J Phys 55, 706, 1987.
4. Y.T. Chen und A. Cook, Gravitational Experiments in the Laboratory, (Cambridge University Press, 1993).
5. C. A. Coulomb, Premiere Memoire sur l’electricite et le Magnetisme, Histoire de l’Academie Royale des Sciences, 569-577 (1785).
1 erhältlich bei CENCO 33210C, und PASCO SE-9633