Küstenparadox

von

Dieser Abschnitt benötigt zusätzliche Zitate zur Verifizierung. Bitte helfen Sie, diesen Artikel zu verbessern, indem Sie Zitate zu zuverlässigen Quellen hinzufügen. Material ohne Quellenangabe kann angefochten und entfernt werden. (Februar 2015) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlage entfernen können)

Der grundlegende Begriff der Länge stammt aus dem euklidischen Abstand. In der euklidischen Geometrie stellt eine gerade Linie die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten dar. Diese Linie hat nur eine Länge. Auf der Oberfläche einer Kugel wird sie durch die geodätische Länge (auch Großkreislänge genannt) ersetzt, die entlang der Oberflächenkurve gemessen wird, die in der Ebene mit den beiden Endpunkten und dem Mittelpunkt der Kugel liegt. Die Länge von Basiskurven ist komplizierter, kann aber ebenfalls berechnet werden. Beim Messen mit Linealen kann man die Länge einer Kurve annähernd bestimmen, indem man die Summe der Geraden, die die Punkte verbinden, addiert:

Wenn man zur Annäherung an die Länge einer Kurve einige Geraden verwendet, erhält man einen Schätzwert, der niedriger ist als die wahre Länge; wenn man immer kürzere (und damit zahlreichere) Geraden verwendet, nähert sich die Summe der wahren Länge der Kurve an. Ein genauer Wert für diese Länge kann mit Hilfe der Infinitesimalrechnung ermittelt werden, dem Teilgebiet der Mathematik, das die Berechnung von unendlich kleinen Entfernungen ermöglicht. Die folgende Animation veranschaulicht, wie einer glatten Kurve sinnvollerweise eine genaue Länge zugewiesen werden kann:

Allerdings können nicht alle Kurven auf diese Weise gemessen werden. Ein Fraktal ist per Definition eine Kurve, deren Komplexität sich mit dem Maßstab der Messung ändert. Während die Annäherungen an eine glatte Kurve mit zunehmender Messgenauigkeit zu einem einzigen Wert tendieren, konvergiert der Messwert für ein Fraktal nicht.

Diese Sierpiński-Kurve (eine Art raumfüllende Kurve), die das gleiche Muster in immer kleinerem Maßstab wiederholt, wird immer länger. Versteht man sie als Iteration innerhalb eines unendlich unterteilbaren geometrischen Raums, so tendiert ihre Länge gegen unendlich. Gleichzeitig konvergiert die von der Kurve eingeschlossene Fläche zu einer präzisen Zahl – so wie sich analog dazu die Landmasse einer Insel leichter berechnen lässt als die Länge ihrer Küstenlinie.

Da die Länge einer fraktalen Kurve immer gegen unendlich divergiert, würde sich, wenn man eine Küstenlinie mit unendlicher oder nahezu unendlicher Auflösung messen würde, die Länge der unendlich kurzen Knicke in der Küstenlinie zu unendlich summieren. Diese Zahl beruht jedoch auf der Annahme, dass der Raum in infinitesimale Abschnitte unterteilt werden kann. Der Wahrheitswert dieser Annahme – die der euklidischen Geometrie zugrunde liegt und als nützliches Modell für die alltägliche Messung dient – ist eine Frage der philosophischen Spekulation und spiegelt möglicherweise die sich verändernden Realitäten von „Raum“ und „Entfernung“ auf atomarer Ebene (etwa in der Größenordnung eines Nanometers) nicht wider. So wird beispielsweise die Planck-Länge, die um viele Größenordnungen kleiner ist als ein Atom, als kleinste messbare Einheit im Universum vorgeschlagen.

Küstenlinien sind in ihrer Konstruktion weniger eindeutig als idealisierte Fraktale wie die Mandelbrot-Menge, da sie durch verschiedene natürliche Ereignisse entstehen, die auf statistisch zufällige Weise Muster erzeugen, während idealisierte Fraktale durch wiederholte Iterationen einfacher, formelhafter Sequenzen gebildet werden.

Schreibe einen Kommentar