Die Theorie der Zufallsmatrizen geht von der Annahme aus, dass das großräumige Verhalten eines komplexen Systems durch seine Symmetrien und die statistischen Eigenschaften seiner Parameter bestimmt wird und relativ unempfindlich gegenüber den genauen Details der einzelnen interagierenden Elemente ist. Die Theorie zielt hauptsächlich darauf ab, die Statistik der Eigenwerte und Eigenvektoren von Zufallsmatrizen in der Großraumgrenze zu bestimmen. Frühe Arbeiten, die ihren Ursprung in der Kernphysik haben, konzentrierten sich auf Ensembles, die sowohl hermitsche Symmetrie als auch All-zu-All-Wechselwirkungen aufweisen, ähnlich den Mean-Field-Modellen der statistischen Physik. Die Lockerung der Alles-zu-Alles-Annahme führt zu topologischer Unordnung und zu Ensembles aus spärlichen Zufallsmatrizen mit vielen Nullmatrixeinträgen. Solche Matrizen modellieren komplexe Systeme, bei denen ein gegebener Freiheitsgrad mit einer endlichen Anzahl anderer interagiert, und tauchen auf natürliche Weise in Verbindung mit Systemen wie neuronalen Netzen oder Ökosystemen auf.
Trotz dieser großen Bedeutung wurden spärliche nicht-hermitsche Zufallsmatrizen jedoch erst in den letzten zehn Jahren eingehend untersucht, da die Standardanalysemethoden der Zufallsmatrixtheorie nicht anwendbar sind. Strenge Ergebnisse für solche Matrizen gibt es so gut wie nicht, da es sehr schwierig ist, die Konvergenz der Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren zu einer deterministischen Grenze bei großen Matrixgrößen zu beweisen. Die jüngste Forschung hat jedoch mit neuen Ansätzen Fortschritte gemacht. In einem neuen Artikel gibt LML-Fellow Fernando Metz zusammen mit Izaak Neri vom King’s College London und Tim Rogers von der University of Bath einen Überblick über die theoretischen Fortschritte bei der Untersuchung der Spektren dünn besetzter nicht-hermitescher Zufallsmatrizen, wobei der Schwerpunkt auf exakten Ansätzen liegt, die auf einer fruchtbaren Analogie zwischen Zufallsmatrixberechnungen und der statistischen Mechanik ungeordneter Spinsysteme basieren. Sie zeigen, dass diese Methoden für einfache Modelle Zugang zu analytischen Ergebnissen für die spektralen Eigenschaften spärlicher nicht-hermitischer Zufallsmatrizen bieten. Für kompliziertere Modelle können die spektralen Eigenschaften auch mit numerischen Algorithmen berechnet werden.
Metz und Kollegen schließen ihre Übersicht mit der Feststellung, dass die Theorie der spärlichen nicht-hermitischen Zufallsmatrizen im Vergleich zur klassischen Zufallsmatrixtheorie noch in den Kinderschuhen steckt und es viele offene Fragen gibt. Eine davon ist die Frage der Universalität. Das Interesse an der Zufallsmatrixtheorie hängt weitgehend von dem universellen Verhalten vieler spektraler Observablen ab, das es ermöglicht, die Stabilität komplexer dynamischer Systeme zu untersuchen. Bei spärlichen Zufallsmatrizen scheint diese Möglichkeit aufgrund starker lokaler Fluktuationen in der Graphenstruktur verloren zu gehen. Es stellt sich jedoch heraus, dass viele Ensembles spärlicher nicht-hermitescher Zufallsmatrizen einige universelle Eigenschaften aufweisen, wie die Spektrallücke, den Eigenwert mit dem größten Realteil und die diesem Eigenwert entsprechenden Eigenvektormomente. Diese spektralen Eigenschaften bestimmen die Stabilität und die Dynamik komplexer Systeme im stationären Zustand. Es scheint also Hoffnung zu geben, universelles Verhalten für dünnbesetzte Matrizen zu finden, wenn man die richtigen Observablen betrachtet, was zu einem besseren Verständnis der Universalität in großen dynamischen Systemen führen könnte.
Ein Vorabdruck der Arbeit ist verfügbar unter https://arxiv.org/abs/1811.10416