Vorbereitung auf Calculus 3

Sie haben gerade Calculus 2 abgeschlossen und stehen nun vor der aufregenden Reise von Calculus 3!

Calculus 3, auch Multivariable Calculus oder Multivariate genannt, erweitert Ihre Kenntnisse der einvariablen Kalkulation und wendet sie auf die 3D-Welt an.

Mit anderen Worten, wir werden Funktionen von zwei Variablen erforschen, die in dreidimensionalen Koordinatensystemen beschrieben werden.

Die Frage ist also…

…Bist du bereit für Calculus 3?

Am wichtigsten ist, dass Calc 3 Grenzwerte, Ableitungen und Integrale umfasst, also alle diese Konzepte, die du zuvor in Calc 1 und Calc 2 gelernt hast.

Das bedeutet also, dass du bereits über alle mathematischen Fähigkeiten verfügst, die du brauchst, um erfolgreich zu sein.

Jetzt müssen wir uns nur noch an einige Schlüsselkonzepte erinnern und vielleicht einige Ideen auffrischen, die wir schon lange nicht mehr gesehen haben.

Zuerst wirst du etwas über Vektoren und die Geometrie des Raums lernen, die sich mit dem Schreiben von Gleichungen von Linien und Ebenen, Operationen mit Vektoren und quadratischen Flächen beschäftigt.

Was sind quadratische Flächen, wirst du dich vielleicht fragen?

Eine quadratische Fläche ist der Graph einer Gleichung zweiten Grades in drei Variablen. Aber das klingt einfach nur gruselig, oder?

Das bedeutet, dass wir unsere geliebten zweidimensionalen Kegelschnitte aus der Vorkalkulation nehmen und in das dreidimensionale Koordinatensystem übertragen.

Daher ist es sehr wichtig, sich zu merken und zu wiederholen, wie man Kegelschnitte identifiziert, z.B.:

• Kreise
• Ellipsen
• Parabeln
• Hyperbeln

Denn sie werden eine wichtige Rolle dabei spielen, wie wir quadratische Flächen wie Zylinder, Ellipsoide, Paraboloide, Kugeln und Hyperboloide identifizieren und grafisch darstellen.

Als Nächstes lernen Sie auf Ihrer Reise durch Calculus 3, wie Vektorfunktionen differenziert und antidifferenziert werden und wie sie Bewegung im Raum beschreiben – Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Danach lernst du, wie man:

• Partielle Ableitungen
• Gradientenvektoren
• Richtungsableitungen

Darüber hinaus wirst du herausfinden, wie man Grenzwerte von multivariablen Funktionen auswertet und wie man Extrema (Maxima und Minima) von verschiedenen Flächen findet.

Was müssen Sie also wissen, um erfolgreich zu sein?

Grundlegende Grenzwert- und Ableitungsregeln!

Sie müssen Grenzwerte von unbestimmten Formen vereinfachen, Ableitungen mit Hilfe der Potenz-, Produkt- und Quotientenregeln vornehmen. Außerdem wirst du die Kettenregel für polynomische, rationale und trigonometrische Funktionen anwenden.

Im weiteren Verlauf des Kurses werden Sie sich auf die Integration konzentrieren, insbesondere werden Sie lernen, wie man mehrere Integrale auswertet, um die Fläche, das Volumen und die von einem Kraftfeld geleistete Arbeit oder die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids über eine Oberfläche zu bestimmen.

Danach werden Sie Techniken wie Riemannsche Summen, U-Substitution, Integration durch Teile und trigonometrische Integration anwenden.

Auch wenn sich das beängstigend anhört, finde ich, dass die meisten Schüler diese Ideen mit etwas Übung ziemlich schnell begreifen.

Was aber wirklich zu größerem Erfolg verhilft, ist ein gutes Verständnis der Polarkoordinaten und ein grundlegendes Konzept der Arbeit.

Warum?

Weil man schnell feststellen wird, dass einige Integrale in kartesischen (rechtwinkligen) Koordinaten einfach zu schwer von Hand zu berechnen sind.

Daher müssen wir einen Variablenwechsel vornehmen, damit wir entweder mit zylindrischen (polaren) oder sphärischen Koordinaten oder sogar in parametrischer Form integrieren können. Und die Vektorrechnung, die in der Regel das letzte Kapitel von Calculus 3 ist, befasst sich mit der Arbeit auf, in und um eine Fläche, die ebenfalls überwiegend Polarkoordinaten verwendet.

Wie kommt man also auf die Überholspur?

Erinnern Sie sich daran, wie man von polaren in rechtwinklige Koordinaten umwandelt und umgekehrt, und wie man mit parametrischen Funktionen umgeht!

Dankenswerterweise hat unser Calculus 3 Readiness Test alles, was Sie brauchen, um Ihnen einen Vorgeschmack auf das zu geben, was Sie erwartet, alle wichtigen Konzepte zu wiederholen, die Sie kennen sollten und Ihnen das Selbstvertrauen zu geben, das Sie brauchen, um erfolgreich zu sein!

Vortest & Antwortschlüssel

• Calculus 3 Assessment Test: Üben Sie Ihre Fähigkeiten, um sich auf Multivariable Calculus vorzubereiten. Dieser Bereitschaftstest enthält 22 Übungsaufgaben.
• Calculus 3 Assessment Key: Überprüfen Sie Ihre Antworten und ermitteln Sie Ihre Stärken und Schwächen.

Video Solutions

1 Std. 20 Min.

• Introduction to Video: Sind Sie bereit für Calculus 3?
• 00:00:00 – Für #1-2: Bestimmen Sie die Unstetigkeit und werten Sie die Grenze aus
• 00:06:01 – Für #3-6: Berechne jeden Grenzwert
• 00:18:34 – Für #7-9: Finde die Ableitung jeder Funktion
• 00:25:30 – Für #10: Finde alle lokalen und absoluten Extrema für die Funktion
• 00:31:48 – Für #11-12: Berechne das Integral
• 00:38:36 – Für #13-14: Evaluate the Integral
• 00:44:27 – For #15: Approximate using Right and Left Riemann Sums and the Trapezoidal Sum
• 00:51:57 – For #16-17: Finde den Flächeninhalt der Region und die Länge der Kurve
• 00:58:01 – Für #18: Finde das Volumen des erzeugten Körpers
• 01:03:22 – Für #19: Identifiziere den Kegelschnitt
• 01:08:35 – Für #20-21: Umrechnung von der Rechteck- in die Polarform und von der Polar- in die Rechteckform
• 01:15:22 – Für #22: Eliminieren Sie den Parameter und schreiben Sie die Gleichung in rechteckiger Form