Con la llegada del rock and roll, Norman adquirió su primera guitarra a los siete años. Sus primeras influencias musicales fueron Elvis Presley, Little Richard y Lonnie Donegan.
En estos primeros años, los padres de Norman se desplazaron mucho por el país, lo que le llevó a ir a nueve colegios diferentes y a vivir en varios lugares de Inglaterra, como Redcar, Luton, Kimpton y Nottingham. Sin embargo, en 1962 la familia se trasladó de nuevo a Bradford, la ciudad natal de la madre de Norman. Bede’s Grammar School, donde conocería a Alan Silson y Terry Uttley, futuros miembros de Smokie.
Como adolescentes, influenciados por la nueva era de grupos como The Beatles y The Rolling Stones y el entonces cantante de folk, Bob Dylan, Norman y Silson comenzaron a reunirse y pasaron casi todo su tiempo libre aprendiendo nuevas canciones con sus guitarras. Consiguieron convencer a Uttley para que se uniera a ellos y, junto con un amigo baterista llamado Ron Kelly, formaron su primera banda. The Yen, Essence y Long Side Down fueron algunos de los diversos nombres que recibieron antes de decidirse por «The Elizabethans». Cuando Ron Kelly dejó el grupo en 1973, le pidieron a un viejo amigo llamado Pete Spencer que se hiciera cargo de la batería, y el grupo, que se convertiría en Smokie, estaba completo.
Entre 1974 y principios de los 80, Smokie disfrutó del éxito de las giras por todo el mundo, pero la tensión y la presión de estar constantemente lejos de casa y de la familia estaban empezando a afectar a Norman. A principios de los 80, decidió dedicar más tiempo a componer y trabajar en el estudio. Norman y Spencer trabajaron juntos en canciones para otros artistas, incluyendo éxitos para Kevin Keegan («Head Over Heels in Love», número 31 en el Reino Unido), y la canción de la selección inglesa de fútbol «This Time (We’ll Get It Right)». También trabajó con Agnetha Fältskog (en su álbum en solitario), Racey (co-compositor de «Baby It’s You»), Donovan (coros en Donovan), y Heavy Metal Kids.
En 1978, Norman grabó un dúo con Suzi Quatro, «Stumblin’ In», que llegó al No. 4 en el Billboard Hot 100 de EE.UU. y vendió más de un millón de copias.
La carrera en solitario de Norman despegó en 1986 con la canción «Midnight Lady», que fue un éxito en toda Europa y ocupó el primer puesto en Alemania durante seis semanas (donde vendió 900.000 copias). A este éxito siguieron las canciones «Some Hearts Are Diamonds», «No Arms Can Ever Hold You», «Broken Heroes», «Fearless Hearts», «Sarah» y «Baby I Miss You». En 1994, Norman fue galardonado por CMT Europe como su «Estrella de Vídeo Internacional del Año».
En 2004, participó en el Comeback Show de la cadena de televisión alemana ProSieben e interpretó «Stumblin’ In» a dúo con C. C. Catch. En el último episodio del programa, se le unió Smokie para la canción final.
El 2 de junio de 2007, Norman actuó en el Peel Bay Festival, Isla de Man.