Conjunto de Cantor

). Sin embargo, el conjunto de puntos finales de los intervalos eliminados es contable, por lo que debe haber incontables números en el conjunto de Cantor que no son puntos finales de los intervalos. Como se ha señalado anteriormente, un ejemplo de tal número es 1⁄4, que puede escribirse como 0,020202…3 = 0,02 en notación ternaria. De hecho, dado cualquier a ∈ {\displaystyle a\in }

, existen x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}

tal que a = y – x {pantalla a=y-x}

. Esto fue demostrado por primera vez por Steinhaus en 1917, quien demostró, mediante un argumento geométrico, la afirmación equivalente de que { ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ∩ ( C × C ) ≠ ∅ {\displaystyle \ {(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},| y=x+a};\cap \;({\mathcal {C}}times {\mathcal {C}})\neq \tyset }

para cada a ∈ {{displaystyle a\N}en }

. Como esta construcción proporciona una inyección desde {\displaystyle }

a C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}times {\mathcal {C}}

, tenemos | C × C | ≥ | = c {{displaystyle |{mathcal {C}}veces {\mathcal {C}}|\geq ||={mathfrak {c}}

como corolario inmediato. Suponiendo que | A × A | = | A | {\displaystyle |\times A|=|A|}

para cualquier conjunto infinito A {{displaystyle A}

(una afirmación que se ha demostrado equivalente al axioma de elección de Tarski), esto proporciona otra demostración de que | C | = c {{displaystyle |{mathcal {C}}|={mathfrak {c}}

.

El conjunto de Cantor contiene tantos puntos como el intervalo del que se toma, pero no contiene ningún intervalo de longitud no nula. Los números irracionales tienen la misma propiedad, pero el conjunto de Cantor tiene la propiedad adicional de ser cerrado, por lo que ni siquiera es denso en ningún intervalo, a diferencia de los números irracionales que son densos en todos los intervalos.

Se ha conjeturado que todos los números irracionales algebraicos son normales. Dado que los miembros del conjunto de Cantor no son normales, esto implicaría que todos los miembros del conjunto de Cantor son racionales o trascendentales.

AutosimilaridadEditar

El conjunto de Cantor es el prototipo de un fractal. Es autosimilar, porque es igual a dos copias de sí mismo, si cada copia se reduce en un factor de 3 y se traslada. Más precisamente, el conjunto de Cantor es igual a la unión de dos funciones, las transformaciones de autosimilitud izquierda y derecha de sí mismo, T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3}

y T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}

, que dejan al conjunto de Cantor invariante hasta el homeomorfismo: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . {\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\ccup T_{R}({\mathcal {C}}).}

Iteración repetida de T L {{displaystyle T_{L}}

y T R {{displaystyle T_{R}}

pueden visualizarse como un árbol binario infinito. Es decir, en cada nodo del árbol, se puede considerar el subárbol a la izquierda o a la derecha. Tomando el conjunto { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}

junto con la composición de funciones forma un monoide, el monoide diádico.

Los automorfismos del árbol binario son sus rotaciones hiperbólicas, y vienen dados por el grupo modular. Así pues, el conjunto de Cantor es un espacio homogéneo en el sentido de que para dos puntos cualesquiera x {\displaystyle x}

e y {\displaystyle y}

en el conjunto de Cantor C {\displaystyle {\mathcal {C}}

, existe un homeomorfismo h : C → C {\mathcal h:{\mathcal {C}} a {\mathcal {C}}

con h ( x ) = y {pantalla h(x)=y}

. Una construcción explícita de h {\displaystyle h}

puede describirse más fácilmente si vemos el conjunto de Cantor como un espacio producto de un número contable de copias del espacio discreto { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}

. Entonces el mapa h : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N {\displaystyle h:\{0,1\}^{mathbb {N} a \N0,1\N^{mathbb {N} }}

definido por h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}mod 2}

es un homeomorfismo involutivo que intercambia x {\displaystyle x}

e y {\displaystyle y}

.

Ley de conservaciónEditar

Se ha encontrado que alguna forma de ley de conservación es siempre responsable detrás del escalamiento y la autosimilitud. En el caso del conjunto de Cantor se puede ver que la d f {{displaystyle d_{f}}

el momento (donde d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}

es la dimensión fractal) de todos los intervalos supervivientes en cualquier etapa del proceso de construcción es igual a la constante que es igual a uno en el caso del conjunto de Cantor . Sabemos que hay N = 2 n {\displaystyle N=2^{n}}

intervalos de tamaño 1 / 3 n {\displaystyle 1/3^{n}}

presentes en el sistema en el n {displaystyle n}

paso de su construcción. Entonces, si etiquetamos los intervalos supervivientes como x 1 , x 2 , … , x 2 n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}

entonces la d f {pantalla d_{f}}

es x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {{displaystyle x_{1}^d_{f}+x_{2}^d_{f}+\cdots +x_{2^{n}=1}

ya que x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n {{displaystyle x_{1}=x_{2}={dots=x_{2^{n}}=1/3^{n}}

.

La dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor es igual a ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Propiedades topológicas y analíticasEditar

Aunque «el» conjunto de Cantor se refiere típicamente al Cantor original, de tercios medios, descrito anteriormente, los topólogos suelen hablar de «un» conjunto de Cantor, que significa cualquier espacio topológico que sea homeomorfo (topológicamente equivalente) a él.

Como muestra el argumento de la suma anterior, el conjunto de Cantor es incontable pero tiene medida de Lebesgue 0. Como el conjunto de Cantor es el complemento de una unión de conjuntos abiertos, él mismo es un subconjunto cerrado de los reales, y por tanto un espacio métrico completo. Como también es totalmente acotado, el teorema de Heine-Borel dice que debe ser compacto.

Para cualquier punto del conjunto de Cantor y cualquier vecindad arbitrariamente pequeña del punto, hay algún otro número con un numeral ternario de sólo 0s y 2s, así como números cuyos numerales ternarios contienen 1s. Por lo tanto, cada punto del conjunto de Cantor es un punto de acumulación (también llamado punto de agrupación o punto límite) del conjunto de Cantor, pero ninguno es un punto interior. Un conjunto cerrado en el que cada punto es un punto de acumulación se llama también conjunto perfecto en topología, mientras que un subconjunto cerrado del intervalo sin puntos interiores no es denso en ninguna parte del intervalo.

Cada punto del conjunto de Cantor es también un punto de acumulación del complemento del conjunto de Cantor.

Para dos puntos cualesquiera del conjunto de Cantor, habrá algún dígito ternario en el que difieran: uno tendrá 0 y el otro 2. Al dividir el conjunto de Cantor en «mitades» según el valor de este dígito, se obtiene una partición del conjunto de Cantor en dos conjuntos cerrados que separan los dos puntos originales. En la topología relativa del conjunto de Cantor, los puntos han sido separados por un conjunto cerrado. En consecuencia, el conjunto de Cantor está totalmente desconectado. Como espacio compacto de Hausdorff totalmente desconectado, el conjunto de Cantor es un ejemplo de espacio de Stone.

Como espacio topológico, el conjunto de Cantor es naturalmente homeomorfo al producto de contablemente muchas copias del espacio { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}

, donde cada copia lleva la topología discreta. Es el espacio de todas las secuencias en dos dígitos 2 N = { ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } para n ∈ N } {\displaystyle 2^{mathbb {N}} {\}(x_{n})\}mid x_{n}{{0,1}{texto}{para}{n}{n}{mathbb}{N} \}}

,

que también puede identificarse con el conjunto de enteros 2-ádicos. La base de los conjuntos abiertos de la topología del producto son los conjuntos cilíndricos; el homeomorfismo los mapea a la topología del subespacio que el conjunto de Cantor hereda de la topología natural de la recta numérica real. Esta caracterización del espacio de Cantor como producto de espacios compactos da una segunda prueba de que el espacio de Cantor es compacto, a través del teorema de Tychonoff.

A partir de la caracterización anterior, el conjunto de Cantor es homeomorfo a los enteros p-ádicos, y, si se elimina un punto de él, a los números p-ádicos.

El conjunto de Cantor es un subconjunto de los reales, que son un espacio métrico con respecto a la métrica de distancia ordinaria; por lo tanto, el propio conjunto de Cantor es un espacio métrico, utilizando esa misma métrica. Alternativamente, se puede utilizar la métrica p-ádica sobre 2 N {{displaystyle 2^{mathbb {N}}}. }}

: dadas dos secuencias ( x n ) , ( y n ) ∈ 2 N {\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\Nen 2^{\mathbb {N} }}

, la distancia entre ellos es d ( ( x n ) , ( y n ) ) = 2 – k {\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}

, donde k {{displaystyle k}

es el menor índice tal que x k ≠ y k {\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}

; si no existe tal índice, entonces las dos secuencias son iguales, y se define la distancia como cero. Estas dos métricas generan la misma topología en el conjunto de Cantor.

Hemos visto anteriormente que el conjunto de Cantor es un espacio métrico compacto perfecto totalmente desconectado. De hecho, en cierto sentido es el único: todo espacio métrico perfecto compacto no vacío y totalmente desconectado es homeomorfo al conjunto de Cantor. Véase Espacio de Cantor para más información sobre los espacios homeomorfos al conjunto de Cantor.

El conjunto de Cantor se considera a veces como «universal» en la categoría de espacios métricos compactos, ya que cualquier espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor; sin embargo, esta construcción no es única, por lo que el conjunto de Cantor no es universal en el sentido categórico preciso. La propiedad «universal» tiene importantes aplicaciones en el análisis funcional, donde a veces se conoce como el teorema de la representación para los espacios métricos compactos.

Para cualquier número entero q ≥ 2, la topología sobre el grupo G=Zqω (la suma directa contable) es discreta. Aunque el dual de Pontrjagin Γ es también Zqω, la topología de Γ es compacta. Uno puede ver que Γ es totalmente desconectado y perfecto – por lo tanto es homeomorfo al conjunto de Cantor. Es más fácil escribir el homeomorfismo explícitamente en el caso q=2. (Ver Rudin 1962 p 40.)

La media geométrica del conjunto de Cantor es aproximadamente 0,274974.

Medida y probabilidadEditar

El conjunto de Cantor puede verse como el grupo compacto de secuencias binarias, y como tal, está dotado de una medida natural de Haar. Cuando se normaliza para que la medida del conjunto sea 1, es un modelo de una secuencia infinita de lanzamientos de monedas. Además, se puede demostrar que la medida habitual de Lebesgue sobre el intervalo es una imagen de la medida de Haar sobre el conjunto de Cantor, mientras que la inyección natural en el conjunto ternario es un ejemplo canónico de una medida singular. También se puede demostrar que la medida de Haar es una imagen de cualquier probabilidad, lo que convierte al conjunto de Cantor en un espacio de probabilidad universal en algunos aspectos.

En la teoría de la medida de Lebesgue, el conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto que es incontable y tiene medida cero.

Números de CantorEditar

Si definimos un número de Cantor como un miembro del conjunto de Cantor, entonces

• (1) Todo número real en es la suma de dos números de Cantor.
• (2) Entre dos números de Cantor cualesquiera hay un número que no es un número de Cantor.

Teoría descriptiva de conjuntosEditar

El conjunto de Cantor es un conjunto exiguo (o un conjunto de primera categoría) como subconjunto de (aunque no como subconjunto de sí mismo, ya que es un espacio de Baire). El conjunto de Cantor demuestra así que las nociones de «tamaño» en términos de cardinalidad, medida y categoría (Baire) no tienen por qué coincidir. Como el conjunto Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} |cap }

, el conjunto Cantor C {\displaystyle {\mathcal {C}}

es «pequeño» en el sentido de que es un conjunto nulo (un conjunto de medida cero) y es un exiguo subconjunto de . Sin embargo, a diferencia de Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, que es contable y tiene una cardinalidad «pequeña», ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}

, la cardinalidad de C {\displaystyle {\mathcal {C}}

es la misma que la de , el continuo c {\displaystyle {\mathfrak {c}}

, y es «grande» en el sentido de cardinalidad. De hecho, también es posible construir un subconjunto de que es escaso pero de medida positiva y un subconjunto que no es escaso pero de medida cero: Tomando la unión contable de los conjuntos «gordos» de Cantor C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}^{(n)}}

de medida λ = ( n – 1 ) / n {\displaystyle \lambda =(n-1)/n}

(véase el conjunto Smith-Volterra-Cantor más abajo para la construcción), obtenemos un conjunto A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^(n)}}

que tiene una medida positiva (igual a 1) pero es exigua en , ya que cada C ( n ) {{displaystyle {\mathcal {C}^(n)}}

no es denso en ninguna parte. Entonces consideremos el conjunto A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}^{mathrm {c}}

. Ya que A ∪ A c = {\mathcal {A}cup {{mathcal {A}}^{mathrm {c}} }=}

{{displaystyle {\mathcal {A}}cup {\mathcal {A}^{mathrm {c}}} A c {\displaystyle {\mathcal {A}^ {\mathrm {c}} }}

no puede ser exigua, pero como μ ( A ) = 1 {\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}^{mathrm {c}} }}

debe tener medida cero.