En matemáticas, los contraejemplos se utilizan a menudo para demostrar los límites de los posibles teoremas. Utilizando contraejemplos para mostrar que ciertas conjeturas son falsas, los investigadores matemáticos pueden entonces evitar meterse en callejones sin salida y aprender a modificar las conjeturas para producir teoremas demostrables. A veces se dice que el desarrollo matemático consiste principalmente en encontrar (y demostrar) teoremas y contraejemplos.
Ejemplo de rectánguloEditar
Supongamos que una matemática está estudiando la geometría y las formas, y desea demostrar ciertos teoremas sobre ellas. Conjetura que «Todos los rectángulos son cuadrados», y le interesa saber si esta afirmación es verdadera o falsa.
En este caso, puede intentar demostrar la veracidad de la afirmación utilizando el razonamiento deductivo, o puede intentar encontrar un contraejemplo de la afirmación si sospecha que es falsa. En este último caso, un contraejemplo sería un rectángulo que no fuera un cuadrado, como un rectángulo con dos lados de longitud 5 y dos lados de longitud 7. Sin embargo, a pesar de haber encontrado rectángulos que no fueran cuadrados, todos los rectángulos que encontró tenían cuatro lados. Entonces hace la nueva conjetura «Todos los rectángulos tienen cuatro lados». Esto es lógicamente más débil que su conjetura original, ya que todo cuadrado tiene cuatro lados, pero no toda forma de cuatro lados es un cuadrado.
El ejemplo anterior explicaba -de forma simplificada- cómo un matemático podría debilitar su conjetura ante los contraejemplos, pero los contraejemplos también pueden utilizarse para demostrar la necesidad de ciertos supuestos e hipótesis. Por ejemplo, supongamos que, después de un tiempo, el matemático anterior se ha decantado por la nueva conjetura «Todas las formas que son rectángulos y tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados». Esta conjetura tiene dos partes en la hipótesis: la forma debe ser «un rectángulo» y debe tener «cuatro lados de igual longitud». La matemática quiere saber si puede eliminar cualquiera de las dos hipótesis y seguir manteniendo la veracidad de su conjetura. Esto significa que necesita comprobar la veracidad de las dos afirmaciones siguientes:
- «Todas las formas que son rectángulos son cuadrados»
- «Todas las formas que tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados»
Un contraejemplo de (1) ya se dio anteriormente, y un contraejemplo de (2) es un rombo no cuadrado. Así pues, el matemático sabe ahora que ambos supuestos eran efectivamente necesarios.
Otros ejemplos matemáticosEditar
Un contraejemplo a la afirmación «todos los números primos son impares» es el número 2, ya que es un número primo pero no es un número impar. Ninguno de los números 7 o 10 es un contraejemplo, ya que ninguno de ellos es suficiente para contradecir la afirmación. En este ejemplo, el 2 es, de hecho, el único contraejemplo posible de la afirmación, aunque por sí solo es suficiente para contradecirla. De manera similar, la afirmación «Todos los números naturales son primos o compuestos» tiene el número 1 como contraejemplo, ya que el 1 no es ni primo ni compuesto.
La conjetura de la suma de potencias de Euler fue refutada por contraejemplo. Afirmaba que eran necesarias al menos n potencias nth para sumar a otra potencia nth. Esta conjetura fue refutada en 1966, con un contraejemplo que involucraba a n = 5; ahora se conocen otros contraejemplos de n = 5, así como algunos contraejemplos de n = 4.
El contraejemplo de Witsenhausen muestra que no siempre es cierto (para los problemas de control) que una función de pérdida cuadrática y una ecuación lineal de evolución de la variable de estado implican leyes de control óptimas que son lineales.
Otros ejemplos incluyen la refutación de la conjetura de Seifert, la conjetura de Pólya, la conjetura del decimocuarto problema de Hilbert, la conjetura de Tait y la conjetura de Ganea.