SismologíaEditar
El concepto de deconvolución tuvo una temprana aplicación en la sismología de reflexión. En 1950, Enders Robinson era un estudiante graduado en el MIT. Trabajó con otras personas del MIT, como Norbert Wiener, Norman Levinson y el economista Paul Samuelson, para desarrollar el «modelo convolucional» de un sismograma de reflexión. Este modelo supone que el sismograma registrado s(t) es la convolución de una función de reflectividad terrestre e(t) y una ondícula sísmica w(t) procedente de una fuente puntual, donde t representa el tiempo de registro. Así, nuestra ecuación de convolución es
s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {\displaystyle s(t)=(e*w)(t),}
El sismólogo está interesado en e, que contiene información sobre la estructura de la Tierra. Por el teorema de convolución, esta ecuación puede ser transformada de Fourier a
S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {\displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\_,
en el dominio de la frecuencia, donde ω {\displaystyle \omega }
es la variable de frecuencia. Asumiendo que la reflectividad es blanca, podemos suponer que el espectro de potencia de la reflectividad es constante, y que el espectro de potencia del sismograma es el espectro de la ondícula multiplicado por esa constante. Así, | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {\displaystyle |S(\omega )|\approx k|W(\omega )|,}
Si suponemos que la ondícula es de fase mínima, podemos recuperarla calculando el equivalente de fase mínima del espectro de potencia que acabamos de encontrar. La reflectividad puede recuperarse diseñando y aplicando un filtro de Wiener que dé forma a la ondícula estimada a una función delta de Dirac (es decir, un pico). El resultado puede verse como una serie de funciones delta escaladas y desplazadas (aunque esto no es matemáticamente riguroso):
e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\displaystyle e(t)=\suma _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),
donde N es el número de eventos de reflexión, r i {{displaystyle r_{i}}
son los coeficientes de reflexión, t – τ i {\displaystyle t-\tau _{i}}
son los tiempos de reflexión de cada evento, y δ {\displaystyle \delta }
es la función delta de Dirac.
En la práctica, dado que estamos tratando con conjuntos de datos ruidosos, de ancho de banda finito, de longitud finita y con muestreo discreto, el procedimiento anterior sólo produce una aproximación del filtro necesario para desconvertir los datos. Sin embargo, formulando el problema como la solución de una matriz de Toeplitz y utilizando la recursividad de Levinson, podemos estimar con relativa rapidez un filtro con el menor error medio cuadrático posible. También podemos hacer la deconvolución directamente en el dominio de la frecuencia y obtener resultados similares. La técnica está estrechamente relacionada con la predicción lineal.
Óptica y otras imágenesEditar
En óptica e imagen, el término «deconvolución» se utiliza específicamente para referirse al proceso de inversión de la distorsión óptica que tiene lugar en un microscopio óptico, microscopio electrónico, telescopio u otro instrumento de imagen, creando así imágenes más claras. Suele realizarse en el ámbito digital mediante un algoritmo de software, como parte de un conjunto de técnicas de procesamiento de imágenes de microscopio. La desconvolución también es práctica para afinar las imágenes que sufren movimientos rápidos o sacudidas durante la captura. Las primeras imágenes del Telescopio Espacial Hubble estaban distorsionadas por un espejo defectuoso y se afinaron mediante deconvolución.
El método habitual consiste en suponer que el camino óptico a través del instrumento es ópticamente perfecto, convolucionado con una función de dispersión de puntos (PSF), es decir, una función matemática que describe la distorsión en términos del camino que una fuente puntual teórica de luz (u otras ondas) recorre a través del instrumento. Por lo general, dicha fuente puntual aporta una pequeña zona de desenfoque a la imagen final. Si se puede determinar esta función, es cuestión de calcular su función inversa o complementaria y convolucionar la imagen adquirida con ella. El resultado es la imagen original, no distorsionada.
En la práctica, encontrar la verdadera PSF es imposible, y normalmente se utiliza una aproximación de la misma, calculada teóricamente o basada en alguna estimación experimental mediante el uso de sondas conocidas. La óptica real también puede tener diferentes PSFs en diferentes ubicaciones focales y espaciales, y la PSF puede ser no lineal. La precisión de la aproximación de la PSF dictará el resultado final. Se pueden emplear diferentes algoritmos para obtener mejores resultados, al precio de ser más intensivos en términos computacionales. Dado que la convolución original descarta datos, algunos algoritmos utilizan datos adicionales adquiridos en puntos focales cercanos para recuperar parte de la información perdida. La regularización en los algoritmos iterativos (como en los algoritmos de maximización de expectativas) puede aplicarse para evitar soluciones poco realistas.
Cuando se desconoce la PSF, puede ser posible deducirla probando sistemáticamente diferentes PSF posibles y evaluando si la imagen ha mejorado. Este procedimiento se denomina deconvolución ciega. La deconvolución ciega es una técnica de restauración de imágenes bien establecida en astronomía, donde la naturaleza puntual de los objetos fotografiados expone la PSF, lo que la hace más factible. También se utiliza en microscopía de fluorescencia para la restauración de imágenes, y en imágenes espectrales de fluorescencia para la separación espectral de múltiples fluoróforos desconocidos. El algoritmo iterativo más común para este propósito es el algoritmo de deconvolución de Richardson-Lucy; la deconvolución de Wiener (y las aproximaciones) son los algoritmos no iterativos más comunes.
Para algunos sistemas de imagen específicos, como los sistemas de terahercios pulsados por láser, la PSF puede modelarse matemáticamente. Como resultado, como se muestra en la figura, la deconvolución de la PSF modelada y la imagen de terahercios puede dar una representación de mayor resolución de la imagen de terahercios.
RadioastronomíaEditar
Cuando se realiza la síntesis de imágenes en radiointerferometría, un tipo específico de radioastronomía, un paso consiste en deconvertir la imagen producida con el «haz sucio», que es un nombre diferente para la función de dispersión de puntos. Un método comúnmente utilizado es el algoritmo CLEAN.
Espectro de absorciónEditar
La deconvolución se ha aplicado ampliamente a los espectros de absorción. Se puede utilizar el algoritmo de Van Cittert (artículo en alemán).
Aspectos de la transformada de FourierEditar
La deconvolución se asigna a la división en el codominio de Fourier. Esto permite que la deconvolución se aplique fácilmente con datos experimentales que están sujetos a una transformada de Fourier. Un ejemplo es la espectroscopia de RMN, donde los datos se registran en el dominio del tiempo, pero se analizan en el dominio de la frecuencia. La división de los datos en el dominio del tiempo por una función exponencial tiene el efecto de reducir la anchura de las líneas lorenzianas en el dominio de la frecuencia.