La teoría de las matrices aleatorias parte de la suposición de que el comportamiento a gran escala de un sistema complejo debería estar gobernado por sus simetrías y las propiedades estadísticas de sus parámetros, y ser relativamente insensible a los detalles precisos de cada elemento que interactúa. La teoría tiene como objetivo principal determinar la estadística de los valores y vectores propios de las matrices aleatorias en el límite de gran tamaño. Los primeros trabajos, originados en la física nuclear, se centraron en conjuntos con simetría hermitiana e interacciones de todo a todo, similares a los modelos de campo medio de la física estadística. La relajación de la suposición de todo a todo introduce el desorden topológico y conduce a conjuntos de matrices aleatorias dispersas con muchas entradas de matriz cero. Estas matrices modelan sistemas complejos en los que un grado de libertad determinado interactúa con un número finito de otros, y surgen de forma natural en relación con sistemas como las redes neuronales o los ecosistemas.
Sin embargo, a pesar de su gran importancia, las matrices aleatorias escasas no hermitianas sólo se han estudiado de forma significativa en la última década, ya que no se aplican los métodos de análisis estándar de la teoría de las matrices aleatorias. Los resultados rigurosos para estas matrices son casi inexistentes, ya que es muy difícil demostrar la convergencia de las propiedades de los valores y vectores propios a un límite determinista con matrices de gran tamaño. Sin embargo, la investigación reciente ha avanzado con nuevos enfoques. En un nuevo artículo, el becario del LML Fernando Metz, junto con Izaak Neri, del King’s College de Londres, y Tim Rogers, de la Universidad de Bath, revisan los avances teóricos en el estudio de los espectros de las matrices aleatorias no hermitianas dispersas, centrándose en enfoques exactos basados en una fructífera analogía entre los cálculos de las matrices aleatorias y la mecánica estadística de los sistemas de espín desordenados. Como muestran, para modelos simples, estos métodos dan acceso a resultados analíticos para las propiedades espectrales de las matrices aleatorias no hermitianas dispersas. Para modelos más complicados, las propiedades espectrales también pueden calcularse en el límite de gran tamaño utilizando algoritmos numéricos.
Metz y sus colegas concluyen su revisión señalando que la teoría de las matrices aleatorias escasas no hermitianas está todavía en su infancia, en comparación con la teoría clásica de las matrices aleatorias, y hay muchas cuestiones pendientes. Entre ellas está la cuestión de la universalidad. El interés de la teoría de las matrices aleatorias depende en gran medida del comportamiento universal de muchos observables espectrales, que permite estudiar la estabilidad de sistemas dinámicos complejos. En el caso de las matrices aleatorias dispersas, esta posibilidad parece perderse debido a las fuertes fluctuaciones locales de la estructura gráfica. Sin embargo, resulta que muchos conjuntos de matrices aleatorias dispersas no hermitianas presentan algunas propiedades universales, como la brecha espectral, el valor propio con la mayor parte real y los momentos del vector propio correspondientes a este valor propio. Estas propiedades espectrales determinan la estabilidad y la dinámica del estado estacionario de los sistemas complejos. Por lo tanto, parece que hay esperanza de encontrar un comportamiento universal para las matrices dispersas, si se observan los observables correctos, lo que podría conducir a una mejor comprensión de la universalidad en los grandes sistemas dinámicos.
Una preimpresión del artículo está disponible en https://arxiv.org/abs/1811.10416