Aunque tanto Descartes como Fermat sugirieron el uso de tres coordenadas para estudiar curvas y superficies en el espacio, la geometría analítica tridimensional se desarrolló lentamente hasta aproximadamente 1730, cuando los matemáticos suizos Leonhard Euler y Jakob Hermann y el matemático francés Alexis Clairaut produjeron ecuaciones generales para cilindros, conos y superficies de revolución. Por ejemplo, Euler y Hermann demostraron que la ecuación f(z) = x2 + y2 da la superficie que se produce al girar la curva f(z) = x2 alrededor del eje z (véase la figura, que muestra el paraboloide elíptico z = x2 + y2).
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Newton hizo la notable afirmación de que todos los cúbicos planos surgen de los de su tercera forma estándar por proyección entre planos. Esto fue demostrado independientemente en 1731 por Clairaut y el matemático francés François Nicole. Clairaut obtuvo todos los cúbicos de las cuatro formas estándar de Newton como secciones de la cúbica conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 formada por las líneas en el espacio que unen el origen (0, 0, 0) con los puntos de la tercera cúbica estándar en el plano z = 1.
En 1748 Euler utilizó ecuaciones de rotaciones y traslaciones en el espacio para transformar la superficie cuádrica generalax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 de modo que sus ejes principales coincidan con los ejes de coordenadas. Euler y los matemáticos franceses Joseph-Louis Lagrange y Gaspard Monge independizaron la geometría analítica de la geometría sintética (no analítica).
Análisis vectorial
En un espacio euclidiano de cualquier dimensión, los vectores -segmentos de línea dirigidos- pueden especificarse mediante coordenadas. Una n-tupla (a1, …, an) representa el vector en un espacio n-dimensional que se proyecta sobre los números reales a1, …, an en los ejes de coordenadas.
En 1843 el matemático-astrónomo irlandés William Rowan Hamilton representó vectores cuatridimensionales algebraicamente e inventó los cuaterniones, el primer álgebra no conmutativa que se estudió ampliamente. La multiplicación de los cuaterniones por una coordenada cero llevó a Hamilton a descubrir las operaciones fundamentales sobre los vectores. Sin embargo, los físicos matemáticos consideraron que la notación utilizada en el análisis vectorial era más flexible, en particular, es fácilmente extensible a espacios de infinitas dimensiones. Los cuaterniones siguieron siendo interesantes desde el punto de vista algebraico y se incorporaron en la década de 1960 a ciertos modelos nuevos de física de partículas.
Proyecciones
A medida que la potencia de cálculo disponible creció exponencialmente en las últimas décadas del siglo XX, la animación por ordenador y el diseño asistido por ordenador se hicieron omnipresentes. Estas aplicaciones se basan en la geometría analítica tridimensional. Las coordenadas se utilizan para determinar los bordes o las curvas paramétricas que forman los límites de las superficies de los objetos virtuales. El análisis vectorial se utiliza para modelar la iluminación y determinar sombreados realistas de las superficies.
Ya en 1850, Julius Plücker había unido la geometría analítica y la proyectiva introduciendo coordenadas homogéneas que representan puntos en el plano euclidiano (véase geometría euclidiana) y en el infinito de manera uniforme como triples. Las transformaciones proyectivas, que son cambios lineales invertibles de las coordenadas homogéneas, vienen dadas por la multiplicación de matrices. Esto permite que los programas de gráficos por ordenador cambien eficazmente la forma o la vista de los objetos representados y los proyecten desde el espacio virtual tridimensional a la pantalla de visualización bidimensional.
Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza