Cálculo de la constante gravitatoria, con el modelo de aparato que lo acompaña.
Lo que muestra
La atracción gravitatoria entre esferas de plomo. Los datos de la demostración también pueden utilizarse para calcular la constante gravitatoria universal G.
Foto cortesía de Clive Grainger
Cómo funciona
El aparato de Cavendish consiste básicamente en dos pares de esferas, cada par formando mancuernas que tienen un eje de giro común (figura 1). Una de las mancuernas está suspendida de una fibra de cuarzo y es libre de girar mediante la torsión de la fibra; la cantidad de torsión se mide por la posición de un punto de luz reflejado desde un espejo fijado a la fibra. La segunda mancuerna puede girar de manera que cada una de sus esferas esté muy cerca de una de las esferas de la otra mancuerna; la atracción gravitatoria entre dos conjuntos de esferas tuerce la fibra, y es la medida de esta torsión la que permite calcular la magnitud de la fuerza gravitatoria.
Figura 1. las mancuernas gemelas del experimento de Cavendish
El aparato de Cavendish que utilizamos actualmente está construido por PASCO. 1 La fibra de cuarzo y la mancuerna más pequeña están encerradas en una caja metálica con ventana de cristal para su protección. En la figura 2 se muestra una vista en planta de las esferas y sus dimensiones. Se utiliza un láser HeNe para proporcionar el punto de reflexión. Cuando el aparato se utiliza cuantitativamente, se suele emplear el método del tiempo de oscilación para calcular G.
Figura 2. Vista en planta de la disposición de la mancuerna doble
La mancuerna grande se gira sobre su eje para que las esferas presionen contra el escudo de vidrio junto a las esferas más pequeñas (véase la figura 2). La atracción gravitacional entre las esferas ejerce un par de torsión sobre la fibra de cuarzo que se retuerce en un pequeño ángulo. Se anota la posición del punto reflejado y se desplaza la mancuerna grande a su segunda posición en el otro lado del cristal; la atracción gravitatoria tuerce la fibra en la dirección opuesta. Se anota el tiempo de respuesta del punto para desplazarse a la segunda posición y la posición final del punto. La velocidad con la que la fibra puede responder al movimiento depende de su constante de torsión κ, que puede calcularse midiendo el periodo de oscilación de la fibra,
El par aplicado debido a la atracción gravitatoria τ=κθ donde θ es el ángulo máximo de desviación del punto luminoso. En esta desviación máxima, la fuerza entre una esfera grande y una pequeña es
donde r es la distancia entre los centros de las esferas. Se relaciona con el par de torsión por τ=F(L/2) donde L es la longitud de la mancuerna pequeña. Así que la constante gravitacional se puede calcular por
Nota que, al girar el espejo un ángulo θ, la luz reflejada se mueve 2θ. Así que invirtiendo la mancuerna se mide un ángulo de 4θ.
Los datos de este aparato en particular se dan en la tabla 1.
tabla 1. Datos del aparato Cavendish
| constante de torsión κ | 3,10 ± 0,10 x 10-8 N m (calculada a partir de las especificaciones de PASCO y de la medición directa) |
| período de oscilación T | 498,2 ± 6,0 s (a partir de la medición directa) |
| ángulo de excursión máx. ángulo de excursión | menos de 5 x 10-2 radianes, o menos de 3 grados (a partir de la medición directa) cuando las masas grandes se mueven de una posición a otra |
| ángulo de equilibrio θ | 5,40 x 10-3 radianes ± 15% (a partir de la medición directa) |
| separación de la esfera pequeña r | a partir de la especificación PASCO: 46,5 mm cuando la masa grande está contra la caja y la esfera pequeña está en la posición central dentro de la caja. Tenga en cuenta que la precisión de este valor depende de lo bien centrada que esté la balanza dentro de la caja. |
| Masa de la esfera grande M | 1500 g (de la especificación) |
| Masa de la esfera pequeña m | 38,3 ± 0.2 g (a partir de la especificación) |
| distancia del centro de la pequeña masa al eje de torsión | 50 mm (a partir de la especificación) |
Puesta en marcha:
Este experimento utiliza un aparato muy sensible que requiere paciencia y delicadeza para su puesta en marcha. Consulta la impresión del manual de usuario de PASCO en la carpeta azul «Experimento Cavendish» del archivador.
- Primero busca una plataforma estable y colócala en el aula. Aunque la balanza tiene pies que pueden ajustarse para nivelarla, para obtener los mejores resultados la plataforma también debe estar razonablemente nivelada.
- La balanza PASCO que se utiliza actualmente es muy sensible, por lo que, para evitar que se dañe la cinta de torsión durante el transporte, el aparato debe llevarse con cuidado a la sala de conferencias y colocarse en la plataforma.
- Retire la placa frontal de la balanza para exponer la pequeña mancuerna y los brazos de soporte ajustables que la inmovilizan durante el transporte. Bajar los brazos de soporte para que no interfieran con las mancuernas. Ajuste los pies para que todo el aparato esté nivelado, y vuelva a colocar la placa frontal.
- Utilice el cable amarillo para conectar eléctricamente a tierra el aparato. Coloque las masas grandes en la posición «neutra» de manera que queden perpendiculares con las masas pequeñas del interior.
- En este punto la mancuerna probablemente se esté moviendo bastante dentro de la caja; a medida que la balanza se asiente, configure el láser a la distancia y el ángulo adecuados para el público.
- Las vibraciones de la mancuerna normalmente se amortiguarán después de unos 20 minutos. Para una instalación más rápida, los movimientos se pueden amortiguar subiendo y bajando lentamente los brazos de soporte. Si después de asentarse la mancuerna sigue cambiando de dirección bruscamente, esto significa que el equilibrio torsional de la cinta se ha desviado demasiado de donde debería estar, y la cinta necesita ser «puesta a cero».
- Para poner a cero la balanza, comience aflojando cuidadosamente el tornillo de mariposa que sobresale de la parte superior del eje principal. También cerca de la parte superior, la gran perilla redonda unida a la correa elástica se utiliza para cambiar la dirección de la cinta (observe que hay una perilla de ajuste fina y otra gruesa). Espere hasta que la mancuerna haya hecho su excursión completa en la dirección del ajuste necesario para minimizar la oscilación añadida. Vuelva a apretar con cuidado el tornillo de mariposa (no demasiado) y amortigüe la mancuerna vibratoria según sea necesario. Repita la operación hasta llegar a cero.
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El aparato fue inventado originalmente por el Rev. John Michell en 1795 para medir la densidad de la Tierra, y fue modificado por Henry Cavendish en 1798 para medir G. En 1785 Coulomb utilizó un aparato similar para medir la fuerza electrostática entre bolas de médula cargadas. Aparte de la importancia histórica del experimento, es muy interesante ver que se puede medir una fuerza tan increíblemente débil con un aparato tan sencillo.
En una sala de conferencias, el aparato de Cavendish es demasiado pequeño para que el público pueda ver su funcionamiento. Un modelo a gran escala de la mancuerna y de los componentes de fibra es una buena idea para ayudar a explicar lo que sucede. Hemos construido un modelo de este tipo con madera y latón, con brazos de mancuerna de 50 cm de longitud y la mancuerna pequeña colgando de un cable de cobre. Las esferas más grandes, de madera, tienen imanes encerrados y las más pequeñas, de espuma de poliestireno, tienen rodamientos de bolas de acero en sus centros.
1. M.H.Shamos, Great Experiments in Physics, (Henry Holt & Co. Nueva York 1959) p.75, contiene el artículo original de Cavendish
2. R.E. Crandall, Am J Phys 54, 367, 1983.
3. J.Cl. Dousse y C. Rheme, Am J Phys 55, 706, 1987.
4. Y.T. Chen y A. Cook, Gravitational Experiments in the Laboratory, (Cambridge University Press, 1993).
5. C. A. Coulomb, Premiere Memoire sur l’electricite et le Magnetisme, Histoire de l’Academie Royale des Sciences, 569-577 (1785).
1 disponible en CENCO 33210C, y PASCO SE-9633