Propiedades de los conjuntos bajo una operación
Los matemáticos suelen estar interesados en saber si ciertos conjuntos tienen o no propiedades particulares bajo una operación determinada. Una de las razones por las que los matemáticos se interesaban en esto era para poder determinar cuándo las ecuaciones tendrían soluciones. Si un conjunto bajo una operación dada tiene ciertas propiedades generales, entonces podemos resolver ecuaciones lineales en ese conjunto, por ejemplo.
Hay varias propiedades importantes que un conjunto puede o no satisfacer bajo una determinada operación. Una propiedad es una cierta regla que se cumple si es verdadera para todos los elementos de un conjunto bajo la operación dada y una propiedad no se cumple si hay al menos un par de elementos que no siguen la propiedad bajo la operación dada.
Hablar de propiedades de esta forma tan abstracta aún no tiene mucho sentido, así que vamos a ver algunos ejemplos de propiedades para que puedas entender mejor lo que son. En esta clase, aprenderemos sobre la propiedad de cierre.
La propiedad de cierre
Un conjunto tiene la propiedad de cierre bajo una operación particular si el resultado de la operación es siempre un elemento del conjunto. Si un conjunto tiene la propiedad de cierre bajo una operación particular, entonces decimos que el conjunto es «cerrado bajo la operación.»
Es mucho más fácil entender una propiedad viendo ejemplos que simplemente hablando de ella de forma abstracta, así que pasemos a ver ejemplos para que se vea exactamente de qué estamos hablando cuando decimos que un conjunto tiene la propiedad de cierre:
Primero veamos unos cuantos conjuntos infinitos con operaciones que ya nos son familiares:
a) El conjunto de los enteros es cerrado bajo la operación de adición porque la suma de dos enteros cualesquiera es siempre otro entero y por tanto está en el conjunto de los enteros.
b) El conjunto de los números enteros no es cerrado bajo la operación de la división porque cuando se divide un número entero por otro, no siempre se obtiene otro número entero como respuesta. Por ejemplo, 4 y 9 son enteros, pero 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 no es un entero, por lo que no está en el conjunto de los enteros.
para ver más ejemplos de conjuntos infinitos que satisfacen y no satisfacen la propiedad de cierre.
c) El conjunto de los números racionales es cerrado bajo la operación de multiplicación, porque el producto de dos números racionales cualesquiera siempre será otro número racional, y por tanto estará en el conjunto de los números racionales. Esto se debe a que la multiplicación de dos fracciones siempre dará como resultado otra fracción, ya que el producto de dos fracciones a/b y c/d, dará como resultado ac/bd. La única forma posible de que ac/bd no sea una fracción es que bd sea igual a 0. Pero si a/b y c/d son ambas fracciones, esto significa que ni b ni d son 0, por lo que bd no puede ser 0.
d) El conjunto de los números naturales no es cerrado bajo la operación de la resta porque cuando se resta un número natural a otro, no siempre se obtiene otro número natural. Por ejemplo, 5 y 16 son números naturales, pero 5 – 16 = – 11. – El 11 no es un número natural, por lo que no está en el conjunto de los números naturales.
Ahora veamos algunos ejemplos de conjuntos finitos con operaciones que pueden no sernos familiares:
e) El conjunto {1,2,3,4} no es cerrado bajo la operación de adición porque 2 + 3 = 5, y el 5 no es un elemento del conjunto {1,2,3,4}.
También podemos ver esto mirando la tabla de operaciones del conjunto {1,2,3,4} bajo la operación de adición:
|
+ |
||||
El conjunto{1,2,3,4} no es cerrado bajo la operación + porque hay al menos un resultado (todos los resultados están sombreados en naranja) que no es un elemento del conjunto {1,2,3,4}. La tabla contiene los resultados 5, 6, 7 y 8, ¡ninguno de los cuales es un elemento del conjunto {1,2,3,4}!
f) El conjunto {a,b,c,d,e} tiene la siguiente tabla de operaciones para la operación *:
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* |
a |
b |
c |
d |
e |
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a |
b |
c |
e |
a |
d |
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b |
d |
a |
c |
b |
e |
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c |
c |
d |
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e |
a |
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d |
a |
e |
d |
c |
b |
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e |
e |
b |
a |
d |
c |
El conjunto{a,b,c,d,e} es cerrado bajo la operación * porque todos los resultados (que están sombreados en naranja) son elementos del conjunto {a,b,c,d,e}.
para ver otro ejemplo.
g) El conjunto {a,b,c,d,e} tiene la siguiente tabla de operaciones para la operación $:
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a |
b |
c |
d |
e |
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a |
b |
f |
e |
a |
h |
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b |
d |
a |
c |
h |
e |
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c |
c |
d |
b |
g |
a |
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d |
g |
e |
d |
c |
b |
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e |
e |
b |
h |
d |
c |
El conjunto{a,b,c,d,e} no es cerrado bajo la operación $ porque hay al menos un resultado (todos los resultados están sombreados en naranja) que no es un elemento del conjunto {a,b,c,d,e}. Por ejemplo, según el gráfico, a$b=f. Pero f no es un elemento de {a,b,c,d,e}!