El concepto básico de longitud tiene su origen en la distancia euclidiana. En la geometría euclidiana, una línea recta representa la distancia más corta entre dos puntos. Esta línea sólo tiene una longitud. En la superficie de una esfera, ésta se sustituye por la longitud geodésica (también llamada longitud del gran círculo), que se mide a lo largo de la curva superficial que existe en el plano que contiene los dos puntos extremos y el centro de la esfera. La longitud de las curvas básicas es más complicada, pero también puede calcularse. Midiendo con reglas, se puede aproximar la longitud de una curva sumando la suma de las rectas que conectan los puntos:
El uso de unas pocas rectas para aproximar la longitud de una curva producirá una estimación inferior a la longitud real; cuando se utilizan líneas cada vez más cortas (y por tanto más numerosas), la suma se aproxima a la longitud real de la curva. El valor exacto de esta longitud puede obtenerse mediante el cálculo, la rama de las matemáticas que permite calcular distancias infinitesimales. La siguiente animación ilustra cómo se puede asignar una longitud precisa a una curva suave:
Sin embargo, no todas las curvas pueden medirse de esta manera. Un fractal es, por definición, una curva cuya complejidad cambia con la escala de medición. Mientras que las aproximaciones de una curva suave tienden a un único valor a medida que aumenta la precisión de la medición, el valor medido para un fractal no converge.
Como la longitud de una curva fractal siempre diverge hacia el infinito, si uno midiera una costa con una resolución infinita o casi infinita, la longitud de los pliegues infinitamente cortos de la costa se sumaría al infinito. Sin embargo, esta cifra se basa en la suposición de que el espacio puede subdividirse en secciones infinitesimales. El valor de verdad de esta suposición -que subyace en la geometría euclidiana y sirve de modelo útil en la medición cotidiana- es una cuestión de especulación filosófica, y puede o no reflejar las realidades cambiantes del «espacio» y la «distancia» a nivel atómico (aproximadamente la escala de un nanómetro). Por ejemplo, la longitud de Planck, muchos órdenes de magnitud más pequeña que un átomo, se propone como la unidad medible más pequeña posible en el universo.
Las líneas de costa son menos definidas en su construcción que los fractales idealizados, como el conjunto de Mandelbrot, porque están formadas por varios eventos naturales que crean patrones de manera estadísticamente aleatoria, mientras que los fractales idealizados se forman a través de iteraciones repetidas de secuencias simples y formuladas.