Recibimos todo tipo de preguntas en nuestra bandeja de entrada de «Pregúntale a un físico», (incluyendo un número positivamente desalentador de personas que parecen pensar que es «Pregúntale a un psíquico») pero un tema que constantemente parece despertar la imaginación y la curiosidad de la gente es la velocidad de la luz. ¿Qué la define y por qué nada puede ir más rápido que ella? ¿Qué ocurre si lo intentamos? Pensar en estas preguntas y tratar de encontrar sus respuestas es fascinante y divertido por sí mismo, pero lo más importante es que nos da una idea de las reglas que subyacen a nuestro universo. Hoy vamos a profundizar en una de estas preguntas y en su esclarecedora respuesta: ¿Por qué la velocidad de la luz en el vacío es de 300.000.000 metros por segundo? ¿Por qué c?
Independientemente de la longitud de onda y la energía, todas las ondas electromagnéticas se mueven a la misma velocidad.
Imagina que tienes un cable cargado que se extiende infinitamente en ambas direcciones. Como es infinito, es difícil hablar de cuánta carga total hay en el cable, de la manera que podríamos hacerlo si fuera algo como una esfera. Sin embargo, al observar una unidad de longitud finita, podemos hablar -por ejemplo- de la carga por metro, o de la densidad de carga.
Un cable infinito tiene el mismo aspecto desde cualquier punto de su longitud, así que cuando piensas en la fuerza del campo eléctrico creado por la carga en este cable -la fuerza con la que una partícula cargada sería atraída o repelida por él- va a depender únicamente de la densidad de carga del cable y de la distancia de esa partícula al cable (así como de la permitividad del medio en el que te encuentras, que para nuestros propósitos es el vacío). La ecuación para el campo eléctrico alrededor de este cable se muestra a continuación:
Ahora, en la distancia infinita, alguien comienza a enrollar este cable, tirando de él a lo largo de su eje. Para todos los propósitos prácticos, este movimiento crea una corriente; en lugar de mover las cargas en el cable (como se haría cambiando el voltaje en un extremo), estamos moviendo el propio cable, junto con las cargas que contiene. Como sabrás, una corriente en un cable crea un campo magnético que gira alrededor del mismo. La intensidad de ese campo magnético dependerá de la distancia a la que te encuentres del cable (d), pero también de la intensidad de la corriente, que en este caso es el producto de la densidad de carga del cable y de la velocidad a la que está siendo arrastrado.
Imagina ahora que tienes un segundo de estos cables, paralelo al primero, cargado al mismo voltaje, y siendo arrastrado en la misma dirección a la misma velocidad. Al tener la misma carga, los dos hilos se repelen, separados por su repulsión electrostática.
Cuando se calcula la fuerza entre dos objetos cargados, sus cargas se multiplican entre sí, dando lugar al término lambda-cuadrado anterior (ya que cada hilo tiene una densidad de carga de lambda).
La carga eléctrica estática de estos cables hace que se repelan. Sin embargo, ya que los cables están siendo arrastrados en la misma dirección, hay efectivamente una corriente en cada uno de ellos, y el campo magnético que acompaña a esas corrientes. Cuando tienes dos corrientes apuntando en la misma dirección en cables paralelos, sus campos magnéticos crean una fuerza de atracción entre los dos – cuanto más rápido van, más fuerte se vuelve esta fuerza de atracción.
La ecuación para la fuerza de atracción creada por el magnetismo entre los cables.
Si sigues con atención, verás que hemos creado un escenario donde la fuerza de atracción del magnetismo contrarresta la fuerza eléctrica de repulsión entre estos cables. Sin embargo, como puedes ver en las ecuaciones anteriores, la fuerza magnética depende de la velocidad a la que se mueven los cables, mientras que la fuerza eléctrica repulsiva no lo hace (de ahí el término físico común de electrostática). Entonces, ¿a qué velocidad tendrían que moverse los cables para que la repulsión eléctrica se anule con la atracción magnética? Podemos averiguarlo estableciendo las dos ecuaciones de fuerza iguales entre sí, como se indica a continuación, y resolviendo luego para v.
Un poco de álgebra nos ayuda a deshacernos de los paréntesis y a reducir la fracción del lado derecho de la ecuación, obteniendo esto:
Un resultado sorprendente en este paso es que el término de densidad de carga aparece en el mismo lugar en ambos lados de la ecuación, y elevado a la misma potencia, lo que significa que puede ser «anulado» -la velocidad que los cables tienen que mover para que sus fuerzas eléctricas y magnéticas se equilibren no depende en absoluto de la intensidad de su carga. El factor 2*pi*d también se anula, lo que significa que la distancia entre los cables también es irrelevante en esta ecuación. Dividiendo todos los términos redundantes, la ecuación se convierte en:
y, finalmente, resolviendo para v se obtiene:
Si introduces los valores numéricos reales de la permitividad y la permeabilidad del vacío, el resultado es de 299.792.400 metros por segundo, ¡precisamente la velocidad de la luz!
¿Qué significa esto? En primer lugar, significa que, en realidad, nunca se podrían mover los cables lo suficientemente rápido como para que su repulsión eléctrica se vea completamente contrarrestada por su atracción magnética, ya que ningún objeto masivo puede moverse a la velocidad de la luz. Pero lo más importante es que nos da una pista de por qué la velocidad de la luz en el vacío es la que es; es la velocidad en la que las fuerzas eléctricas y magnéticas se equilibran para crear un paquete de ondas electromagnéticas estable que puede viajar indefinidamente. Si fuera más lenta, el fotón se desharía, al igual que los cables se separarían por la repulsión eléctrica. Si fuera más rápido, el magnetismo superaría esa repulsión y los uniría, colapsando el sistema. Con nada más que matemáticas de nivel de secundaria, es fácil demostrar que la velocidad de la luz en un medio (o en el vacío del espacio) surge inevitablemente como consecuencia de la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética de ese medio.
Sé que esto es muy matemático para una entrada de blog (de hecho, tuvimos que resolver todo esto como un problema de tarea en la universidad), pero espero que te haya dado una idea de una de las partes más emocionantes y adictivas de la física: el potencial para derivar y descubrir verdades universales literales con nada más que un poco de imaginación y matemáticas.