Andrei Voznesensky syntyi Moskovassa vuonna 1933. Hän oli yksi pienestä joukosta runoilijoita, jotka saavuttivat suurta näkyvyyttä Neuvostoliitossa kulttuurisen ”Hruštševin sulatuksen” aikana. Voznesenski, yhdessä Jevgeni Jevtushenkon, Bella Akhmadulinan ja muiden kanssa, piti usein monituntisia lukuhetkiä ja esityksiä kuulijoita täynnä oleville urheilustadioneille.
Voznesenski kirjoitti Boris Pasternakille ja ystävystyi hänen kanssaan 14-vuotiaana, mutta opiskeli arkkitehtuuria ja insinööritieteiden alaa, kunnes joutui todistamaan tulipaloa arkkitehtuuri-instituutissa Moskovassa. Myöhemmin hän sanoi tulipalosta: ””Uskon symboleihin. Ymmärsin, että arkkitehtuuri oli palanut minussa. Minusta tuli runoilija.” Voznesenky hoiti monimutkaista suhdetta neuvostohallitukseen, tarjosi usein moitteita ja välttyi useimmiten ankarilta seuraamuksilta. Raymond H. Anderson kirjoitti New York Timesissa: ”Voznesenskyn runous ilmentää Venäjän Stalinin jälkeisten vuosikymmenten takaiskuja, voittoja ja toiveita. Hänen sadat hienovaraiset, ironiset ja innovatiiviset säkeistöt heijastivat vuorotellen rauhallisia ja stressaavia jaksoja kommunistisen puolueen vallan vakiintuessa, heikentyessä ja sitten, vuonna 1991, nopeasti hajotessa.”
Voznesenskyn teokset saivat laajaa suosiota Venäjällä, mukaan lukien useiden runojen muuttuminen palkituiksi pop-kappaleiksi, ja Voznesenskyn teoksia luettiin laajasti myös Yhdysvalloissa. Vuonna 1966 ilmestyi valikoima hänen kirjoituksiaan, joita olivat kääntäneet muun muassa W.H. Auden, Stanley Kunitz, Richard Wilbur ja William Jay Smith, ja hän kiersi usein maassa, usein parinaan Allen Ginsberg. Paris Review sanoi vuonna 1980 julkaistun haastattelun johdannossa: ”Hänen nimensä näkyy kirjallisuuslehdissä, kun taas hänen kasvonsa näkyvät muotilehdissä. Hän on legenda Venäjällä; hänet tunnistetaan pienillä lentokentillä Amerikan eteläosissa.” Hän kuoli Moskovassa vuonna 2010.