Banachin avaruus

Lineaariset operaattorit, isomorfismit Muokkaa

Jos X ja Y ovat normitettuja avaruuksia saman peruskentän K päällä, kaikkien jatkuvien K-lineaaristen karttojen T : X → Y joukkoa merkitään B(X, Y):llä. Infiniittiulotteisissa avaruuksissa kaikki lineaariset kartat eivät ole jatkuvia. Lineaarinen kartoitus normitetusta avaruudesta X toiseen normitettuun avaruuteen on jatkuva, jos ja vain jos se on rajattu X:n suljetulla yksikköpallolla. Siten vektoriavaruudelle B(X, Y) voidaan antaa operaattorin normi

‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ‖ X ≤ 1 } . {\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.}.

Jos Y on Banachin avaruus, avaruus B(X, Y) on Banachin avaruus tämän normin suhteen.

Jos X on Banach-avaruus, avaruus B(X) = B(X, X) muodostaa unitaalisen Banach-algebran; kertolaskuoperaatio saadaan lineaaristen karttojen kompositiona.

Jos X ja Y ovat normitettuja avaruuksia, ne ovat isomorfisia normitettuja avaruuksia, jos on olemassa lineaarinen bijektio T : X → Y siten, että T ja sen käänteisluku T -1 ovat jatkuvia. Jos jompikumpi avaruus X tai Y on täydellinen (tai refleksiivinen, separoituva jne.), niin myös toinen avaruus on. Kaksi normitettua avaruutta X ja Y ovat isometrisesti isomorfisia, jos lisäksi T on isometria, ts, ||T(x)|| = ||x|| jokaiselle x:lle X:ssä. Kahden isomorfisen, mutta ei isometrisen avaruuden X ja Y välinen Banach-Mazur-etäisyys d(X, Y) antaa mittarin sille, kuinka paljon nämä kaksi avaruutta X ja Y eroavat toisistaan.

PeruskäsitteitäMuokkaa

Kahden normitetun avaruuden kartesiolainen tulo X × Y ei ole kanonisesti varustettu normilla. Kuitenkin käytetään yleisesti useita ekvivalentteja normeja, kuten

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}

ja johtaa isomorfisiin normitettuihin tiloihin. Tässä mielessä produkti X × Y (tai suora summa X ⊕ Y) on täydellinen, jos ja vain jos molemmat tekijät ovat täydellisiä.

Jos M on normitetun avaruuden X suljettu lineaarinen aliavaruus, on olemassa luonnollinen normi lainausavaruudelle X / M,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}

Kerroin X / M on Banach-avaruus, kun X on täydellinen. Lainauskartta X:stä X / M:ään, joka lähettää x:n X:ssä luokkaansa x + M, on lineaarinen, onto ja sillä on normi 1, paitsi jos M = X, jolloin lainauskartta on nolla-avaruus.

X:n suljetun lineaarisen aliavaruuden M sanotaan olevan X:n täydennetty aliavaruus, jos M on rajoitetun lineaarisen projisoinnin P alue X:stä M:ään. Tällöin avaruus X on isomorfinen M:n ja Ker(P):n, projektion P ytimen, suoran summan kanssa.

Esitetään, että X ja Y ovat Banach-avaruuksia ja että T ∈ B(X, Y). T:lle on olemassa kanoninen faktorisaatio seuraavasti

T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}}\ X/\operatorname {Ker} (T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}\

joissa ensimmäinen kartta π on lainauskartta, ja toinen kartta T1 lähettää jokaisen luokan x + Ker(T) lainauksessa olevan luokan x + Ker(T) kuvaan T(x) Y:ssä. Tämä on hyvin määritelty, koska kaikilla saman luokan elementeillä on sama kuva. Kartoitus T1 on lineaarinen bijektio X / Ker(T):stä alueelle T(X), jonka käänteisluvun ei tarvitse olla rajattu.

Klassiset avaruudetEdit

Banach-avaruuksien perusesimerkkejä ovat mm: Lp-avaruudet ja niiden erikoistapaukset, N:llä indeksoitujen skalaarijaksojen muodostamat jaksoavaruudet ℓp; näistä absoluuttisesti summautuvien jaksojen avaruus ℓ1 ja neliöllisesti summautuvien jaksojen avaruus ℓ2; nollaan pyrkivien sarjojen avaruus c0 ja rajattujen sarjojen avaruus ℓ∞; kompaktin Hausdorff-avaruuden K jatkuvien skalaarifunktioiden avaruus C(K), joka on varustettu max-normilla,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . {\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}

Banach-Mazurin lauseen mukaan jokainen Banach-avaruus on isometrisesti isomorfinen jonkin C(K):n aliavaruuden kanssa. Jokaiselle separoituvalle Banach-avaruudelle X on olemassa ℓ1:n suljettu aliavaruus M siten, että X ≅ ℓ1/M.

Jokainen Hilbert-avaruus toimii esimerkkinä Banach-avaruudesta. Hilbert-avaruus H on K = R, C on täydellinen normille muodossa

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }}},}

where

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K} }

on ensimmäisen argumenttinsa suhteen lineaarinen sisäinen tuote, joka täyttää seuraavat:

∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\forall x,y\in H:\quad \langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\\\\forall x\in H:\quad \langle x,x\rangle &\geq 0,\\\\langle x,x\rangle =0\Vasemmanpuoleinen nuolinäppäin x&=0.\end{aligned}}}}

Esimerkiksi avaruus L2 on Hilbert-avaruus.

Hardy-avaruudet, Sobolev-avaruudet ovat esimerkkejä Banach-avaruuksista, jotka ovat sukua Lp-avaruuksille ja joilla on lisärakenne. Ne ovat tärkeitä muun muassa analyysin eri aloilla, harmonisessa analyysissä ja osittaisdifferentiaaliyhtälöissä.

Banachin algebratEdit

Banachin algebra on Banachin avaruus A yli K = R tai C yhdessä K:n yli olevan algebran rakenteen kanssa siten, että produktiokartta A × A ∋ (a, b) ↦ ab ↦ Ab ↦ A:n yli ∈ A on jatkuva. A:lle voidaan löytää vastaava normi siten, että ||ab|| ≤ ||a|| ||b||| kaikille a, b ∈ A.

EsimerkkejäMuokkaa

• Banachin avaruus C(K), jossa on pistemäinen tuote, on Banachin algebra.
• Kiekkoalgebra A(D) koostuu funktioista, jotka ovat holomorfisia avoimella yksikkökiekolla D ⊂ C ja jatkuvia sen sulkeumassa: D. Varustettuna maksiminormilla D:ssä levyalgebra A(D) on C(D):n suljettu alialgebra.
• Wienerin algebra A(T) on niiden funktioiden algebra yksikköympyrässä T, joilla on absoluuttisesti konvergentti Fourier-sarja. Kartan kautta, joka liittää funktion T:llä sen Fourier-kertoimien sarjaan, tämä algebra on isomorfinen Banach-algebran ℓ1(Z) kanssa, jossa tuote on sarjojen konvoluutio.
• Jokaista Banach-avaruutta X varten rajattujen lineaaristen operaattoreiden avaruus B(X) X:llä, jossa karttojen kompositio on produkti, on Banach-algebra.
• C*-algebra on kompleksinen Banach-algebra A, jolla on antilineaarinen involuutio a ↦ a∗ siten, että ||a∗a|| = ||a||2. Hilbert-avaruuden H rajattujen lineaaristen operaattoreiden avaruus B(H) on perustavanlaatuinen esimerkki C*-algebrasta. Gelfand-Naimarkin lauseen mukaan jokainen C*-algebra on isometrisesti isomorfinen jonkin B(H:n C*-algebran kanssa.) Kompaktin Hausdorff-avaruuden K kompleksisten jatkuvien funktioiden avaruus C(K) on esimerkki kommutatiivisesta C*-algebrasta, jossa involuutio assosioi jokaiseen funktioon f sen kompleksisen konjugaatin f.

KaksoisavaruusEdit

Jos X on normitettu avaruus ja K taustalla oleva kenttä (joko reaaliluvut tai kompleksiluvut), jatkuva duaaliavaruus on jatkuvien lineaaristen karttojen avaruus X:stä K:hen eli jatkuvat lineaariset funktionaalit. Jatkuvan duaalin merkintä on tässä artikkelissa X ′ = B(X, K). Koska K on Banachin avaruus (käyttäen absoluuttista arvoa normina), duaali X ′ on Banachin avaruus jokaiselle normitetulle avaruudelle X.

Tärkein työkalu jatkuvien lineaaristen funktionaalien olemassaolon todistamiseen on Hahn-Banachin lause.

Hahn-Banachin lause. Olkoon X vektoriavaruus yli kentän K = R, C. Olkoon edelleen

• Y ⊆ X lineaarinen aliavaruus,
• p : X → R olkoon epälineaarinen funktio ja
• f : Y → K olkoon lineaarinen funktio siten, että Re( f (y)) ≤ p(y) kaikille y:lle Y:ssä.

Silloin on olemassa lineaarinen funktio F : X → K siten, että F | Y = f , ja ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) . {\displaystyle F|_{Y}=f,\quad {\text{and}}\quad \forall x\in X,\ \ \ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}

Erityisesti jokainen jatkuva lineaarinen funktio normitetun avaruuden aliavaruudessa voidaan laajentaa yhtäjaksoisesti koskemaan koko avaruutta ilman, että funktioiden normi kasvaa. Tärkeä erikoistapaus on seuraava: jokaiselle vektorille x normitetussa avaruudessa X on olemassa jatkuva lineaarinen funktio f X:lle siten, että

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X’}\leq 1.}

Kun x ei ole yhtä kuin 0-vektori, funktionaalilla f on oltava normi yksi, ja sitä sanotaan x:n normifunktionaaliksi.

Hahn-Banachin erotteluteoreema sanoo, että reaalisen Banach-avaruuden kaksi disjointista ei-tyhjää koveraa joukkoa, joista toinen on avoin, voidaan erottaa toisistaan suljetulla affiinisella hypertasolla. Avoin kovera joukko sijaitsee tiukasti hypertason toisella puolella, toinen kovera joukko sijaitsee toisella puolella, mutta voi koskettaa hypertasoa.

Banach-avaruuden X osajoukko S on totaalinen, jos S:n lineaarinen jänneväli on tiheä X:ssä. Osajoukko S on totaalinen X:ssä, jos ja vain jos ainoa jatkuva lineaarinen funktio, joka katoaa S:ssä, on 0-funktionaalinen funktionaalinen funktio: tämä ekvivalenssi seuraa Hahnin-Banachin lauseesta.

Jos X on kahden suljetun lineaarisen osaavaruuden M ja N suora summa, niin X:n duaali X ′ on isomorfinen M:n ja N:n duaalien suoran summan kanssa. Jos M on X:n suljettu lineaarinen aliavaruus, voidaan dualiin liittää M:n ortogonaali,

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . {\displaystyle M^{\perp }=\left\{x’\ in X’:x'(m)=0,\ \ \forall m\ in M\right\}.}.

Ortogonaalinen M ⊥ on duaalin suljettu lineaarinen aliavaruus. M:n duaali on isometrisesti isomorfinen X ′ / M ⊥:n kanssa. X / M:n duaali on isometrisesti isomorfinen M ⊥:lle.

Separoituvan Banach-avaruuden duaalin ei tarvitse olla separoituva, vaan:

lause. Olkoon X normitettu avaruus. Jos X ′ on separoituva, niin X on separoituva.

Jos X ′ on separoituva, voidaan edellä esitettyä totaliteettikriteeriä käyttää todistamaan, että X:ssä on olemassa laskettavissa oleva totaalinen osajoukko.

Heikot topologiatMuutos

Banach-avaruuden X heikko topologia on karkein topologia X:llä, jolle kaikki jatkuvan duaalisen avaruuden X ′ alkiot x ′ ovat jatkuvia. Normitopologia on siis hienompi kuin heikko topologia. Hahn-Banachin erotteluteoriasta seuraa, että heikko topologia on Hausdorffin ja että Banach-avaruuden normisuljettu kovera osajoukko on myös heikosti suljettu. Kahden Banach-avaruuden X ja Y välinen normikontinuoitu lineaarinen kartta on myös heikosti jatkuva, eli jatkuva X:n heikosta topologiasta Y:n topologiaan.

Jos X on äärettömän moniulotteinen, on olemassa lineaarisia karttoja, jotka eivät ole jatkuvia. Kaikkien lineaaristen karttojen avaruus X∗ kaikista lineaarisista kartoista X:stä taustalla olevaan kenttään K (tätä avaruutta X∗ kutsutaan algebralliseksi duaaliavaruudeksi erotukseksi X ′:stä) indusoi X:lle myös topologian, joka on heikompaa topologiaa hienompi ja jota käytetään paljon vähemmän funktionaalianalyysissä.

Duaaliavaruudella X ′ on X ′:n heikkoa topologiaa heikompi topologia, jota kutsutaan heikoksi*-topologiaksi. Se on karkein topologia X ′:lle, jolle kaikki evaluointikartat x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, ovat jatkuvia. Sen merkitys tulee Banach-Alaoglun lauseesta.

Banach-Alaoglun lause. Olkoon X normitettu vektoriavaruus. Silloin suljettu yksikköpallo B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′|| ≤ 1} on kompakti heikossa* topologiassa.

Banach-Alaoglun lause riippuu Tychonoffin lauseesta kompaktien tilojen äärettömistä tuotteista. Kun X on separoituva, duaalitilan yksikköpallo B ′ on heikon* topologian metrizoituva kompakti.

Esimerkkejä duaaliavaruuksistaEdit

C0:n duaali on isometrisesti isomorfinen ℓ1:n kanssa: jokaiselle rajoitetulle lineaariselle funktionaalille f c0:ssa on olemassa yksikäsitteinen alkio y = {yn} ∈ ℓ1 siten, että

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , ja ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {\displaystyle f(x)=\summa _{n\in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ \ {\text{and}}\ \ \ \ \|f\|_{(c_{0})’}=\|y\|_{\ell _{1}}}.}

Luvun ℓ1 duaaliℓ isometrisesti isomorfinen ℓ∞:lle. Lp():n duaali on isometrisesti isomorfinen Lq():lle, kun 1 ≤ p < ∞ ja 1/p + 1/q = 1.

Kullekin vektorille y Hilbert-avaruudessa H saadaan kuvaaja

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }

määrittää jatkuvan lineaarisen funktion fy H:ssa. Rieszin esitysteorema sanoo, että jokainen jatkuva lineaarinen funktio H:ssa on muodoltaan fy yksikäsitteisesti määritellylle vektorille y H:ssä. Kuvanmuodostus y ∈ H → fy on antilineaarinen isometrinen bijektio H:stä kaksoiskappaleeseensa H ′. Kun skalaarit ovat reaalisia, tämä kartta on isometrinen isomorfismi.

Kun K on kompakti Hausdorffin topologinen avaruus, C(K):n duaali M(K) on Bourbakin mielessä Radonin mittojen avaruus. M(K):n osajoukko P(K), joka koostuu ei-negatiivisista mitoista, joilla on massa 1 (todennäköisyysmitat), on M(K:n yksikköpallon kovera w*-suljettu osajoukko.) P(K):n ääripisteet ovat K:n Dirac-mittoja. K:n Dirac-mittojen joukko, joka on varustettu w*-topologialla, on homeomorfinen K:lle.

Banach-kiven lause. Jos K ja L ovat kompakte Hausdorff-avaruuksia ja jos C(K) ja C(L) ovat isometrisesti isomorfisia, niin topologiset avaruudet K ja L ovat homeomorfisia.

Tulos on laajennettu Amirin ja Cambernin toimesta tapaukseen, jossa C(K):n ja C(L:n välinen multiplikatiivinen Banach-Mazur-etäisyys on < 2. Lause ei enää päde, kun etäisyys on = 2.

Kommutatiivisessa Banach-algebrassa C(K) maksimaaliset ideaalit ovat nimenomaan Dirac-mittausten ytimiä K:ssa,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } } , x ∈ K . {\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}

Yleisemmin, Gelfand-Mazurin lauseen avulla, unitaalisen kommutatiivisen Banach-algebran maksimaaliset ideaalit voidaan identifioida sen hahmojen kanssa – ei pelkästään joukkoina vaan myös topologisina avaruuksina: edellinen Hull-kernel-topologian ja jälkimmäinen w*-topologian kanssa. Tässä identifioinnissa maksimaalinen ideaaliavaruus voidaan nähdä duaalisen A ′:n yksikköpallon w*-kompaktina osajoukkona.

Teoreema. Jos K on kompakti Hausdorff-avaruus, niin Banach-algebran C(K) maksimaalinen ideaaliavaruus Ξ on homeomorfinen K:n kanssa.

Ei jokainen unitaalinen kommutatiivinen Banach-algebra ole muodoltaan C(K) jollekin kompaktille Hausdorff-avaruudelle K. Tämä väite pitää kuitenkin paikkansa, jos sijoitetaan C(K) pienempään kommutatiivisten C*-algebrojen kategoriaan. Gelfandin esittämisteoreema kommutatiivisille C*-algebroille sanoo, että jokainen kommutatiivinen unitaalinen C*-algebra A on isometrisesti isomorfinen C(K)-avaruuden kanssa. Hausdorffin kompakti avaruus K on tässäkin tapauksessa maksimaalinen ideaaliavaruus, jota kutsutaan C*-algebran yhteydessä myös A:n spektriksi.

BidualEdit

Jos X on normitettu avaruus, duaalin X ′ ′ (jatkuvaa) duaalia X ′ kutsutaan biduaaliksi eli X:n toiseksi duaaliksi. Jokaiselle normitetulle avaruudelle X on olemassa luonnollinen kartta,

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X”\\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\kaikki x\in X,\kaikki f\in X’\end{cases}}}

Tässä määritellään FX(x) jatkuvaksi lineaariseksi funktionaaliksi X ′:llä eli X ′′:n alkioiksi. Kartta FX : x → FX(x) on lineaarinen kartta X:stä X ′′:ään. Koska jokaiselle x:lle X:ssä on olemassa normifunktio f, tämä kartta FX on isometrinen, siis injektiivinen.

Esimerkiksi X = c0:n duaali identifioidaan ℓ1:n kanssa, ja ℓ1:n duaali identifioidaan ℓ∞:n kanssa, joka on rajattujen skalaarijaksojen avaruus. Näillä tunnisteilla FX on inkluusiokartta c0:sta ℓ∞:ään. Se on todellakin isometrinen, mutta ei onto.

Jos FX on surjektiivinen, niin normitettua avaruutta X kutsutaan refleksiiviseksi (ks. alla). Normitetun avaruuden duaalina biduaali X ′′ on täydellinen, joten jokainen refleksiivinen normitettu avaruus on Banachin avaruus.

Käytettäessä isometristä upotusta FX on tapana tarkastella normitettua avaruutta X sen biduaalin osajoukkona. Kun X on Banachin avaruus, sitä tarkastellaan suljettuna lineaarisena aliavaruutena X ′′. Jos X ei ole refleksiivinen, X:n yksikköpallo on X ′′:n yksikköpallon oma osajoukko. Goldstinen teoreema sanoo, että normitetun avaruuden yksikköpallo on heikosti* tiheä biduaalin yksikköpallossa. Toisin sanoen jokaiselle x ′′ biduaalissa on olemassa verkko {xj} X:ssä siten, että

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {\displaystyle \sup _{j}\|x_{j}\|\leq \|x”\|,\ \ \ x”(f)=\lim _{j}f(x_{j}),\quad f\in X’.}

Verkko voidaan korvata heikosti*konvergenssilla sekvenssillä silloin, kun kaksoissuure X ′ on separoituva. Toisaalta ℓ1:n biduaalin elementit, jotka eivät ole ℓ1:ssä, eivät voi olla ℓ1:ssä olevien sekvenssien heikosti*-konvertoituvia, koska ℓ1 on heikosti sekventiaalisesti täydellinen.

Banachin lauseetEdit

Tässä ovat tärkeimmät yleiset tulokset Banach-avaruuksista, jotka juontavat juurensa Banachin kirjan (Banach (1932)) aikaan ja liittyvät Bairen kategoriateoreemaan. Tämän lauseen mukaan täydellinen metrinen avaruus (kuten Banachin avaruus, Fréchet’n avaruus tai F-avaruus) ei voi olla yhtä kuin laskennallisesti monien sellaisten suljettujen osajoukkojen unioni, joilla on tyhjät sisätilat. Banach-avaruus ei siis voi olla laskennallisesti monien suljettujen aliavaruuksien unioni, ellei se ole jo yhtä suuri kuin yksi niistä; Banach-avaruus, jolla on laskennallinen Hamelin perusta, on äärellinen.

Banach-Steinhausin lause. Olkoon X Banachin avaruus ja Y normitettu vektoriavaruus. Oletetaan, että F on kokoelma jatkuvia lineaarisia operaattoreita X:stä Y:hen. Yhtenäisen rajoittuneisuuden periaate sanoo, että jos kaikille x:lle X:ssä on supT∈F ||T(x)||Y < ∞, niin supT∈F ||T||Y < ∞.

Banach-Steinhausin lause ei rajoitu Banach-avaruuksiin. Se voidaan laajentaa esimerkiksi tapaukseen, jossa X on Fréchet-avaruus, kunhan johtopäätöstä muutetaan seuraavasti: saman hypoteesin vallitessa X:ssä on olemassa 0:n naapurusto U, joka on sellainen, että kaikki F:n T:t ovat yhtenäisesti rajattuja U:ssa,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}

Avoimen kartoituksen lause. Olkoot X ja Y Banach-avaruudet ja T : X → Y surjektiivinen jatkuva lineaarinen operaattori, niin T on avoin kartta. Corollary. Jokainen yksikäsitteinen rajattu lineaarinen operaattori Banach-avaruudesta Banach-avaruuteen on isomorfismi. Banach-avaruuksien ensimmäinen isomorfismiteoreema. Oletetaan, että X ja Y ovat Banach-avaruuksia ja että T ∈ B(X, Y). Oletetaan lisäksi, että T:n alue on suljettu Y:ssä. Tällöin X/ Ker(T) on isomorfinen T(X):lle.

Tämä tulos on suora seuraus edellisestä Banachin isomorfismiteoreemasta ja rajattujen lineaaristen karttojen kanonisesta faktoroinnista.

Korollari. Jos Banach-avaruus X on suljettujen aliavaruuksien M1, …, Mn sisäinen suora summa, niin X on isomorfinen M1 ⊕ … ⊕ Mn kanssa.

Tämä on toinen seuraus Banachin isomorfismiteoreemasta, jota sovelletaan jatkuvaan bijektioon M1 ⊕ … ⊕ Mn:stä X:ään, joka lähettää (m1, …, mn) summalle m1 + … + mn.

Suljetun graafin lause. Olkoon T : X → Y Banach-avaruuksien välinen lineaarikuvaus. T:n kuvaaja on suljettu X × Y:ssä, jos ja vain jos T on jatkuva.

RefleksiivisyysMuokkaa

Normitettua avaruutta X kutsutaan refleksiiviseksi, kun luonnollinen kartta

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X”\\\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\kaikille x\in X,\kaikille f\in X’\end{cases}}}

on surjektiivinen. Refleksiiviset normitetut avaruudet ovat Banach-avaruuksia.

Lause. Jos X on refleksiivinen Banach-avaruus, jokainen X:n suljettu aliavaruus ja jokainen X:n quotienttiavaruus ovat refleksiivisiä.

Tämä on seuraus Hahn-Banachin lauseesta. Edelleen, avoimen kartoitusteorian mukaan, jos on olemassa rajattu lineaarinen operaattori Banach-avaruudesta X Banach-avaruuteen Y, niin Y on refleksiivinen.

Teoreema. Jos X on Banach-avaruus, niin X on refleksiivinen, jos ja vain jos X ′ on refleksiivinen. Corollary. Olkoon X refleksiivinen Banach-avaruus. Silloin X on separoituva, jos ja vain jos X ′ on separoituva.

Jos Banach-avaruuden Y duaali Y ′ on separoituva, niin Y on separoituva. Jos X on refleksiivinen ja separoituva, niin X ′:n duaali on separoituva, joten X ′ on separoituva.

Lause. Oletetaan, että X1, …, Xn ovat normitettuja avaruuksia ja että X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Silloin X on refleksiivinen, jos ja vain jos jokainen Xj on refleksiivinen.

Hilbert-avaruudet ovat refleksiivisiä. Lp-avaruudet ovat refleksiivisiä, kun 1 < p < ∞. Yleisemmin tasaisesti kuperat avaruudet ovat refleksiivisiä Milman-Pettisin lauseen mukaan. Avaruudet c0, ℓ1, L1(), C() eivät ole refleksiivisiä. Näissä esimerkeissä ei-refleksiivisistä avaruuksista X biduaali X ′′ on ”paljon suurempi” kuin X. Nimittäin Hahn-Banachin lauseen antamassa luonnollisessa isometrisessä sulauttamisessa X:stä X ′′:ään quotientti X ′′ / X on äärettömän moniulotteinen ja jopa erottamaton. Robert C. James on kuitenkin konstruoinut esimerkin ei-refleksiivisestä avaruudesta, jota tavallisesti kutsutaan ”Jamesin avaruudeksi” ja jota merkitään J:llä, niin että osamäärä J ′′ / J on yksiulotteinen. Lisäksi tämä avaruus J on isometrisesti isomorfinen sen biduaalin kanssa.

Lause. Banach-avaruus X on refleksiivinen, jos ja vain jos sen yksikköpallo on kompakti heikossa topologiassa.

Kun X on refleksiivinen, seuraa, että kaikki X:n suljetut ja rajatut koverat osajoukot ovat heikosti kompakteja. Hilbert-avaruudessa H yksikköpallon heikkoa kompaktiutta käytetään hyvin usein seuraavalla tavalla: jokaisella rajoitetulla sekvenssillä H:ssa on heikosti konvergentteja osasekvenssejä.

Yksikköpallon heikko kompaktius tarjoaa työkalun, jolla voidaan löytää ratkaisuja refleksiivisissä avaruuksissa tiettyihin optimointiongelmiin. Esimerkiksi jokainen kovera jatkuva funktio refleksiivisen avaruuden yksikköpallolla B saavuttaa miniminsä jossakin pisteessä B.

Edellisen tuloksen erikoistapauksena, kun X on refleksiivinen avaruus R:n yläpuolella, jokainen jatkuva lineaarinen funktio f X ′:ssä saavuttaa maksiminsa || f || X:n yksikköpallolla. Seuraava Robert C. Jamesin teoreema antaa käänteisen lausuman.

Jamesin teoreema. Banach-avaruudelle seuraavat kaksi ominaisuutta ovat ekvivalentteja:

• X on refleksiivinen.
• Kaikille f:ille X ′ on olemassa x X:ssä, jossa ||x|| ≤ 1, niin että f (x) = || f ||.

Tehtävä voidaan laajentaa antamaan heikosti kompaktien koverien joukkojen karakterisointi.

Jokaiseen ei-refleksiiviseen Banach-avaruuteen X on olemassa jatkuvia lineaarisia funktioita, jotka eivät ole norminvaraisia. Bishop-Phelpsin lause kuitenkin sanoo, että normia noudattavat funktiot ovat normitiiviitä X:n duaalissa X ′.

Jaksojen heikot konvergenssitEdit

Jakso {xn} Banach-avaruudessa X on heikosti konvergentti vektoriin x ∈ X, jos f (xn) konvergoi f (x):iin jokaiselle jatkuvalle lineaariselle funktionaalille f duaalissa X ′. Jakso {xn} on heikosti Cauchyn jakso, jos f (xn) konvergoi skalaarirajaan L( f ) jokaiselle f:lle X ′:ssä. Jakso { fn } duaalissa X ′ on heikosti* konvergentti funktionaaliin f ∈ X ′, jos fn (x) konvergoi f (x):n (x) kanssa jokaiselle x:lle X:ssä. Heikosti Cauchy-sekvenssit, heikosti konvergentit ja heikosti* konvergentit sekvenssit ovat normirajattuja Banach-Steinhausin lauseen seurauksena.

Kun sekvenssi {xn} X:ssä on heikosti Cauchyn sekvenssi, niin edellä oleva raja-arvo L määrittelee rajoitetun lineaarisen funktionaalin duaalissa X ′, ts, X:n biduaalin elementti L, ja L on {xn}:n raja-arvo biduaalin heikossa*-topologiassa. Banach-avaruus X on heikosti sekventiaalisesti täydellinen, jos jokainen heikosti Cauchyn sekvenssi on heikosti konvergentti X:ssä. Edellisestä keskustelusta seuraa, että refleksiiviset avaruudet ovat heikosti sekventiaalisesti täydellisiä.

Lause. Jokaiselle mitalle μ avaruus L1(μ) on heikosti sekventiaalisesti täydellinen.

Hilbert-avaruuden ortonormaali jakso on yksinkertainen esimerkki heikosti konvergentista jaksosta, jonka raja on 0-vektori. Yksikkövektoriperusta ℓp, 1 < p < ∞, tai c0, on toinen esimerkki heikosti nollasekvenssistä, eli sekvenssistä, joka konvergoi heikosti 0:aan. Jokaiselle heikosti nollasekvenssille Banach-avaruudessa on olemassa kyseisen sekvenssin vektoreiden koverrettujen kombinaatioiden sekvenssi, joka konvergoi normiltaan 0:aan.

Yksikön yksikkövektoriperustaij ℓ1:n yksikkövektoriperusta ei ole heikosti Cauchy. Heikosti Cauchy-sekvenssit ℓ1:ssä ovat heikosti konvergentteja, koska L1-avaruudet ovat heikosti sekventiaalisesti täydellisiä. Itse asiassa heikosti konvergentit sarjat ℓ1:ssä ovat normiltaan konvergentteja. Tämä tarkoittaa, että ℓ1 täyttää Schurin ominaisuuden.

Tulokset, jotka koskevat ℓ1-perustaaEdit

Heikosti konvergoituvat Cauchy-sekvenssit ja ℓ1-perusta ovat vastakkaisia tapauksia seuraavassa H. P. Rosenthalin syvällisessä tuloksessa esitetylle dikotomialle.

Teoreema. Olkoon {xn} rajattu sarja Banach-avaruudessa. Joko {xn}:llä on heikosti Cauchyn osajakso, tai se sallii osajakson, joka vastaa ℓ1:n vakioyksikkövektoriperustaa.

Tämän tuloksen täydennys on Odellin ja Rosenthalin (1975) ansiota.

Lause. Olkoon X separoituva Banach-avaruus. Seuraavat ovat ekvivalentteja:

• Avaruus X ei sisällä suljettua aliavaruutta, joka on isomorfinen ℓ1:n kanssa.
• Jokainen biduaalin X ′′ alkio on X:ssä olevan jakson {xn} heikko*raja.

Goldstinen lauseen mukaan X ′′:n yksikköpallon B ′′ jokainen alkio on X ′′:n yksikköpallossa olevan verkon heikko*raja. Kun X ei sisällä ℓ1, jokainen B ′′:n alkio on X:n yksikköpallossa olevan sarjan heikko*raja.

Kun Banachin avaruus X on separoituva, on heikolla*-topologialla varustetun duaalin X ′ yksikköpallo metrisoituva kompakti avaruus K, ja jokainen elementti x ′′ biduaalissa X ′′ määrittelee rajoitetun funktion K:ssa:

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . {\displaystyle x’\ in K\mapsto x”(x’),\quad \left|x”(x’)\right|\leq \left\|x”\right\|.}

Tämä funktio on jatkuva K:n kompaktin topologian kannalta, jos ja vain jos x ′′ on itse asiassa X:ssä, tarkasteltuna X ′′:n osajoukkona. Oletetaan lisäksi loppua varten, että X ei sisällä ℓ1. Edellisen Odellin ja Rosenthalin tuloksen mukaan funktio x ′′ on K:n jatkuvien funktioiden sarjan {xn} ⊂ X pistemäinen raja-arvo K:lla, se on siis ensimmäisen Baire-luokan funktio K:lla. Biduaalin yksikköpallo on K:n ensimmäisen Baire-luokan pistemäinen kompakti osajoukko.

Jaksot, heikko ja heikko* kompaktius Muokkaa

Kun X on separoituva, dualin yksikköpallo on Banach-Alaoglun mukaan heikko* kompakti ja heikon* topologian kannalta metrisaatiokelpoinen, joten jokaisella rajoittuneella sekvenssillä dualissa on heikosti* konvergentteja osajaksoja. Tämä pätee separoituviin refleksiivisiin avaruuksiin, mutta tässä tapauksessa pätee enemmän, kuten jäljempänä todetaan.

Banach-avaruuden X heikko topologia on metrizoituva, jos ja vain jos X on äärellinen. Jos duaali X ′ on separoituva, X:n yksikköpallon heikko topologia on metrisoituva. Tämä pätee erityisesti separoituviin refleksiivisiin Banach-avaruuksiin. Vaikka yksikköpallon heikko topologia ei yleensä ole metrisoitavissa, voidaan heikkoa kompaktiutta luonnehtia sekvenssien avulla.

Eberlein-Šmuliinin lause. Joukko A Banach-avaruudessa on suhteellisen heikosti kompakti, jos ja vain jos jokaisella {an}-sekvenssillä A:ssa on heikosti konvergentti osajakso.

Banach-avaruus X on refleksiivinen, jos ja vain jos jokaisella rajoitetulla sekvenssillä X:ssä on heikosti konvergentti osittaisjakso.

Heikosti kompakti osajoukko A ℓ1:ssä on normikompakti. Itse asiassa jokaisella A:n jaksolla on Eberlein-Šmulianin mukaan heikosti konvergentteja osajaksoja, jotka ovat ℓ1:n Schur-ominaisuuden mukaan normikonvergentteja.