CardinalityEdit
Voidaan osoittaa, että tässä prosessissa jää jäljelle yhtä monta pistettä kuin oli aluksi, ja että näin ollen Cantorin joukko on laskematon. Tämän havaitsemiseksi osoitetaan, että on olemassa funktio f Cantorin joukosta C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
suljettuun intervalliin, joka on surjektiivinen (ts. f kartoittaa C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
päälle ) siten, että C {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n kardinaalisuus on
ei ole pienempi kuin . Koska C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
on osajoukko , sen kardinaalisuus ei myöskään ole suurempi, joten näiden kahden kardinaalisuuden on itse asiassa oltava yhtä suuret Cantor-Bernstein-Schröderin lauseen mukaan.
Konstruoidaksemme tämän funktion, tarkastellaan intervallin pisteitä emäksen 3 (tai ternaarisen) merkintätavan mukaisesti. Muistutetaan, että oikeat ternaariset murtoluvut, tarkemmin sanottuna: ( Z ∖ { 0 } ) ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}
, sallivat useamman kuin yhden esityksen tässä merkintätavassa, kuten esimerkiksi 1/3, joka voidaan kirjoittaa muodossa 0,13 = 0,103, mutta myös muodossa 0,0222…3 = 0,023, ja 2/3, joka voidaan kirjoittaa muodossa 0,23 = 0.203, mutta myös 0,1222…3 = 0,123. Kun poistamme keskimmäisen kolmanneksen, tämä sisältää luvut, joilla on ternaariluvut muodossa 0,1xxxxx…3, jossa xxxxx…3 on tiukasti 00000…3 ja 22222…3 välillä. Ensimmäisen vaiheen jälkeen jäljelle jäävät luvut koostuvat siis
- Luvuista, jotka ovat muotoa 0.0xxxxx…3 (mukaan lukien 0.022222…3 = 1/3)
- Luvuista, jotka ovat muotoa 0.2xxxxx…3 (mukaan lukien 0.222222….3 = 1)
Tämä voidaan tiivistää sanomalla, että ne luvut, joiden ternäärinen esitys on sellainen, että radix-pisteen jälkeinen ensimmäinen numero ei ole 1, ovat ensimmäisen askeleen jälkeen jäljelle jääviä lukuja.
Kakkosvaiheessa poistetaan luvut, jotka ovat muotoa 0,01xxxx…3 ja 0,21xxxxxx…3, ja (sopivalla huolellisuudella päätepisteiden suhteen) voidaan päätellä, että jäljelle jäävät luvut, joilla on ternaarinen esitys, jossa kumpikaan kahdesta ensimmäisestä numerosta ei ole 1.
Jatketaan näin: jotta lukua ei suljeta pois askeleella n, sillä täytyy olla ternaarinen esitys, jonka n:ssä numerossa oleva n:s numero ei ole 1. Jotta luku kuuluisi Cantorin joukkoon, se ei saa olla poissuljettu millään askeleella, sillä on oltava numeerinen esitys, joka koostuu kokonaan 0:sta ja 2:sta.
On syytä korostaa, että sellaiset luvut kuin 1, 1/3 = 0,13 ja 7/9 = 0,213 kuuluvat Cantorin joukkoon, sillä niillä on ternaarinen numeerinen esitys, joka koostuu kokonaan 0:sta ja 2:sta: 1 = 0.222…3 = 0.23, 1/3 = 0.0222…3 = 0.023 ja 7/9 = 0.20222…3 = 0.2023.Kaikki viimeksi mainitut luvut ovat ”päätepisteitä”, ja nämä esimerkit ovat C:n oikeita raja-arvopisteitä {\displaystyle {\mathcal {C}}}
. Sama pätee myös C {\displaystyle {\mathcal {C}}} vasemmanpuoleisiin rajakohtiin.
, esim. 2/3 = 0,1222…3 = 0,123 = 0,203 ja 8/9 = 0,21222…3 = 0,2123 = 0,2203. Kaikki nämä päätepisteet ovat oikeita ternaarisia murtolukuja (elementit Z ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}
) muodossa p/q, jossa nimittäjä q on 3:n potenssi, kun murtoluku on redusoimattomassa muodossaan. Näiden murtolukujen ternaarinen esitys päättyy (eli on äärellinen) tai – muistutetaan edellä, että oikeilla ternaarisilla murtoluvuilla on kullakin kaksi esitystä – on ääretön ja ”päättyy” joko äärettömän moneen toistuvaan 0:aan tai äärettömän moneen toistuvaan 2:een. Tällainen murtoluku on C:n vasen rajakohta {\displaystyle {\mathcal {C}}}
jos sen ternaarinen esitys ei sisällä yhtään ykköstä ja ”päättyy” äärettömän moneen toistuvaan 0:aan. Vastaavasti oikea ternaarinen murtoluku on C:n oikea rajakohta {\displaystyle {\mathcal {C}}}
, jos sen ternaarilaajennus ei taas sisällä yhtään ykköstä ja ”päättyy” äärettömän moneen toistuvaan kakkoseen.
Tämä päätepistejoukko on tiheä C:ssä {\displaystyle {\mathcal {C}}}
(mutta ei tiheä in ) ja muodostaa laskennallisesti äärettömän joukon. Luvut C:ssä {\displaystyle {\mathcal {C}}}
, jotka eivät ole päätepisteitä, on myös ternaarisessa esityksessään vain 0:t ja 2:t, mutta ne eivät voi päättyä numeron 0 tai numeron 2 äärettömään toistoon, koska silloin se olisi päätepiste.
Funktio C:stä {\displaystyle {\mathcal {C}}}
to määritellään ottamalla ternaariluvut, jotka koostuvat kokonaan 0:sta ja 2:sta, korvaamalla kaikki 2:t 1:llä ja tulkitsemalla lukujono reaaliluvun binääriesitykseksi. Kaavassa f ( ∑ k ∈ N a k 3 – k ) = ∑ k ∈ N a k 2 2 – k {\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}}
missä ∀ k ∈ N : a k ∈ { 0 , 2 } . {\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.}
Mille tahansa luvulle y in , sen binäärinen esitys voidaan kääntää luvun x ternääriseksi esitykseksi C:ssä {\displaystyle {\mathcal {C}}}
korvaamalla kaikki 1:t 2:lla. Tällä saadaan f(x) = y niin, että y on f:n alueella. Jos esimerkiksi y = 3⁄5 = 0,100110011001…2 = 0,1001, kirjoitetaan x = 0,2002 = 0,200220022002…3 = 7⁄10. Näin ollen f on surjektiivinen. f ei kuitenkaan ole injektiivinen – arvot, joille f(x) on yhteneväinen, ovat ne, jotka ovat yhden poistetun keskimmäisen kolmanneksen vastakkaisissa päissä. Otetaan esimerkiksi 1⁄3 = 0.023 (joka on C:n {\displaystyle {\mathcal {C}}} oikea rajakohta).
ja keskimmäisen kolmanneksen vasen rajapiste ) ja 2⁄3 = 0.203 (joka on C {\displaystyle {\mathcal {C}}} vasen rajapiste
ja keskimmäisen kolmanneksen oikea rajakohta )
siten
f ( 1 / 3 ) = f ( 0.0 2 ¯ 3 ) = 0.0 1 ¯ 2 = 0.1 2 = 0.1 0 ¯ 2 = f ( 0.2 0 ¯ 3 ) = f ( 2 / 3 ) . ∥ 1 / 2 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}}_{3})=0.0{\overline {1}}}_{2}=\!\!&\!\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}
Siten Cantorin joukossa on yhtä monta pistettä kuin intervallissa (jonka laskematon kardinaliteetti c = 2 ℵ 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\\aleph _{0}}}}
). Poistettujen intervallien päätepisteiden joukko on kuitenkin laskettavissa, joten Cantorin joukossa täytyy olla lukemattomia lukuja, jotka eivät ole intervallien päätepisteitä. Kuten edellä todettiin, yksi esimerkki tällaisesta luvusta on 1⁄4, joka voidaan kirjoittaa ternaarisessa merkintätavassa muodossa 0,020202…3 = 0,02. Itse asiassa, kun jokin a ∈ a\displaystyle a\in }
, on olemassa x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}
siten, että a = y – x {\displaystyle a=y-x}
. Tämän osoitti ensimmäisen kerran Steinhaus vuonna 1917, joka osoitti geometrisen argumentin avulla vastaavan väitteen, että { ( ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ∩ ( C × C ) ≠ ∅ {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }
jokaiselle a ∈ {\displaystyle a\in }
. Koska tämä konstruktio tarjoaa injektion {\displaystyle }
C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}
, meillä on | C × C | ≥ | | | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq ||={\mathfrak {c}}}
välittömänä seurauksena. Olettaen, että | A × A | = | A | {\displaystyle |A\times A|=|A|}
mille tahansa äärettömälle joukolle A {\displaystyle A}
(väite, jonka Tarski osoitti vastaavan valinta-aksioomaa), tämä tarjoaa toisen osoituksen siitä, että | C | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}}
.
Cantorin joukko sisältää yhtä monta pistettä kuin intervalli, josta se on otettu, mutta itse ei sisällä yhtään nollasta poikkeavan pituista intervallia. Irrationaaliluvuilla on sama ominaisuus, mutta Cantorin joukolla on lisäksi se ominaisuus, että se on suljettu, joten se ei ole edes tiheä missään intervallissa, toisin kuin irrationaaliluvut, jotka ovat tiheitä jokaisessa intervallissa.
On arveltu, että kaikki algebralliset irrationaaliluvut ovat normaaleja. Koska Cantorin joukon jäsenet eivät ole normaaleja, tämä tarkoittaisi, että kaikki Cantorin joukon jäsenet ovat joko rationaalisia tai transsendentaalisia.
ItsesimilaarisuusEdit
Cantorin joukko on fraktaalin prototyyppi. Se on itsesimilaarinen, koska se on yhtä kuin kaksi kopiota itsestään, jos kutakin kopiota kutistetaan 3-kertaiseksi ja käännetään. Tarkemmin sanottuna Cantorin joukko on yhtä suuri kuin kahden funktion, itsensä vasemman- ja oikeanpuoleisten itsesimilaaristen muunnosten, yhdistelmä, T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3}
ja T R ( x ) = ( 2+x ) / 3 {\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}
, jotka jättävät Cantorin joukon muuttumattomaksi homeomorfismiin asti: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . {\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}
Toistuva iterointi T L {\displaystyle T_{L}}
ja T R {\displaystyle T_{R}}
voidaan visualisoida äärettömänä binääripuuna. Toisin sanoen puun jokaisen solmun kohdalla voidaan tarkastella vasemmalla tai oikealla olevaa alipuuta. Otetaan joukko { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}
muodostaa yhdessä funktiokomposition kanssa monoidin, dyadisen monoidin.
Kaksoispuun automorfismit ovat sen hyperbolisia rotaatioita, ja ne annetaan modulaarisen ryhmän avulla. Cantorin joukko on siis homogeeninen avaruus siinä mielessä, että mille tahansa kahdelle pisteelle x {\displaystyle x}
ja y {\displaystyle y}
Cantorin joukossa C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
, on olemassa homeomorfismi h : C → C {\displaystyle h:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
jossa h ( x ) = y {\displaystyle h(x)=y}
. Eksplisiittinen konstruktio h {\displaystyle h}
voidaan kuvata helpommin, jos Cantorin joukko nähdään diskreetin avaruuden {\displaystyle \{0,1\}} {\displaystyle \{0,1\}} laskennallisesti monien kopioiden tuoteavaruutena.
. Tällöin kartta h : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N {\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} }}
määritelty seuraavasti h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}
on involutiivinen homeomorfismi, joka vaihtaa x {\displaystyle x}
ja y {\displaystyle y}
.
SäilymislakiEdit
On havaittu, että jonkinlainen säilymislaki on aina vastuussa skaalautumisen ja itsesimilaarisuuden takana. Cantorin joukon tapauksessa voidaan nähdä, että d f {\displaystyle d_{f}}
th momentti (missä d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}
on fraktaaliulottuvuus) kaikkien selviytyneiden intervallien jossakin rakennusprosessin vaiheessa on yhtä suuri kuin vakio, joka Cantorin joukon tapauksessa on yhtä suuri kuin yksi . Tiedämme, että on olemassa N = 2 n {\displaystyle N=2^{n}}
intervalleja, joiden koko on 1 / 3 n {\displaystyle 1/3^{n}}
jotka ovat järjestelmässä läsnä n {\displaystyle n}
sen rakentamisen kolmannessa vaiheessa. Silloin jos merkitään eloonjääneet välejä x 1 , x 2 , … , x 2 n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}
niin d f {\displaystyle d_{f}}
th momentti on x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {\displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}
koska x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}}
.
Cantorin joukon Hausdorff-ulottuvuus on yhtä suuri kuin ln(2)/ln(3) ≈ 0.631.
Topologiset ja analyyttiset ominaisuudetMuokkaa
Vaikka ”Cantorin joukolla” viitataan tyypillisesti alkuperäiseen, edellä kuvattuun keskimmäiseen kolmannekseen Cantorin joukkoon, topologit puhuvat usein ”a”-Cantorin joukosta, joka tarkoittaa mitä tahansa topologista avaruutta, joka on homeomorfinen (topologisesti ekvivalenttinen) sen kanssa.
Kuten edellä esitetty summausargumentti osoittaa, Cantorin joukko on lukematon, mutta sen Lebesgue-mitta on 0. Koska Cantorin joukko on avointen joukkojen liiton komplementti, se on itsessään reaalien suljettu osajoukko ja siten täydellinen metrinen avaruus. Koska se on myös täysin rajattu, Heine-Borelin lauseen mukaan sen on oltava kompakti.
Mille tahansa Cantorin joukon pisteelle ja minkä tahansa pisteen mielivaltaisen pienelle lähialueelle on olemassa jokin muu luku, jonka ternaariluku koostuu vain 0:sta ja 2:sta, sekä lukuja, joiden ternaariluku sisältää 1:tä. Näin ollen jokainen Cantorin joukon piste on Cantorin joukon kertymäpiste (jota kutsutaan myös klusteripisteeksi tai raja-arvopisteeksi), mutta yksikään piste ei ole sisäpiste. Suljettua joukkoa, jonka jokainen piste on kertymäpiste, kutsutaan topologiassa myös täydelliseksi joukoksi, kun taas suljettu intervallien osajoukko, jossa ei ole yhtään sisäpistettä, ei ole missään tiheä intervalli.
Kaikki Cantorin joukon pisteet ovat myös Cantorin joukon komplementin kertymäpisteitä.
Mille tahansa kahdelle Cantorin joukkoon kuuluvalle pisteelle löytyy jokin ternaariluku, jossa ne eroavat toisistaan – toisessa on 0 ja toisessa 2. Jakamalla Cantorin joukon ”puolikkaisiin” tämän numeron arvon mukaan saadaan Cantorin joukon osio kahteen suljettuun joukkoon, jotka erottavat alkuperäiset kaksi pistettä toisistaan. Cantorin joukon suhteellisessa topologiassa pisteet on erotettu toisistaan suljetulla joukolla. Näin ollen Cantorin joukko on täysin irrallinen. Kompaktina täysin irrallisena Hausdorffin avaruutena Cantorin joukko on esimerkki Stone-avaruudesta.
Topologisena avaruutena Cantorin joukko on luonnollisesti homeomorfinen laskennallisesti monien avaruuden {\displaystyle \{0,1\}} kopioiden tuotteelle.
, jossa jokainen kopio kantaa diskreettia topologiaa. Tämä on kaikkien kaksinumeroisten sekvenssien avaruus 2 N = { ( ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } for n ∈ N } }. {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\ in \{0,1\}{\text{ for }}n\ in \mathbb {N} \}}
,
joka voidaan samaistaa myös 2-adisten kokonaislukujen joukkoon. Tuotostopologian avointen joukkojen perustana ovat sylinterijoukot; homeomorfismi mapittaa nämä aliavaruuden topologiaan, jonka Cantorin joukko perii reaalilukulinjan luonnollisesta topologiasta. Tämä Cantorin avaruuden karakterisointi kompaktien avaruuksien tuotteena antaa toisen todisteen siitä, että Cantorin avaruus on kompakti, Tychonoffin lauseen kautta.
Yllä olevasta karakterisoinnista seuraa, että Cantorin joukko on homeomorfinen p-adiinisille kokonaisluvuille ja, jos siitä poistetaan yksi piste, p-adiinisille luvuille.
Cantorin joukko on osajoukko reaaliluvuista, jotka ovat metrinen avaruus tavallisen etäisyysmetriikan suhteen; siksi Cantorin joukko itsessään on metrinen avaruus, kun käytetään samaa metriikkaa. Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää p-adista metriikkaa 2 N {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}
: annetaan kaksi jaksoa ( x n ) , ( y n ) ∈ 2 N {\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\ in 2^{\mathbb {N} }}
, niiden välinen etäisyys on d ( ( ( x n ) , ( y n ) ) ) = 2 – k {\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}}
, missä k {\displaystyle k}
on pienin sellainen indeksi, että x k ≠ y k {\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}
; jos sellaista indeksiä ei ole, nämä kaksi sarjaa ovat samat, ja etäisyyden määritellään olevan nolla. Nämä kaksi metriikkaa tuottavat saman topologian Cantorin joukolle.
Yllä on nähty, että Cantorin joukko on täysin irrallinen täydellinen kompakti metrinen avaruus. Itse asiassa se on tietyssä mielessä ainoa: jokainen ei-tyhjä täysin irrallinen täydellisen kompakti metrinen avaruus on homeomorfinen Cantorin joukon kanssa. Katso lisätietoja Cantorin joukon homeomorfisista tiloista kohdasta Cantorin avaruus.
Cantorin joukkoa pidetään joskus ”universaalina” kompaktien metristen tilojen kategoriassa, koska mikä tahansa kompakti metrinen tila on Cantorin joukon jatkuva kuva; tämä konstruktio ei kuitenkaan ole ainutkertainen, joten Cantorin joukko ei ole universaali täsmällisessä kategorisessa mielessä. ”Universaalisella” ominaisuudella on tärkeitä sovelluksia funktionaalianalyysissä, jossa se tunnetaan toisinaan kompaktien metristen tilojen esitysteoreminä.
Mille tahansa kokonaisluvulle q ≥ 2 ryhmän G=Zqω (laskennallinen suora summa) topologia on diskreetti. Vaikka Pontrjaginin duaali Γ on myös Zqω, on Γ:n topologia kompakti. Voidaan nähdä, että Γ on täysin irrallinen ja täydellinen – siten se on homeomorfinen Cantorin joukolle. On helpointa kirjoittaa homeomorfismi eksplisiittisesti tapauksessa q=2. (Ks. Rudin 1962 s. 40.)
Cantorin joukon geometrinen keskiarvo on noin 0,274974.
Mitta ja todennäköisyysMuokkaus
Cantorin joukko voidaan nähdä binäärisarjojen kompaktina ryhmänä, ja sellaisena sillä on luonnollinen Haar-mitta. Kun se normalisoidaan siten, että joukon mitta on 1, se on kolikonheiton äärettömän sarjan malli. Lisäksi voidaan osoittaa, että tavallinen Lebesgue-mitta intervalliin on Cantorin joukon Haar-mitan kuva, kun taas luonnollinen injektio ternääriseen joukkoon on kanoninen esimerkki singulaarisesta mitasta. Voidaan myös osoittaa, että Haar-mitta on minkä tahansa todennäköisyyden kuva, mikä tekee Cantorin joukosta tavallaan universaalin todennäköisyysavaruuden.
Lebesguen mittateoriassa Cantorin joukko on esimerkki joukosta, joka on lukematon ja jolla on nollamitta.
Cantorin luvutMuutos
Jos määritellään Cantorin luku Cantorin joukon jäseneksi, niin
- (1) Jokainen reaaliluku in on kahden Cantorin luvun summa.
- (2) Minkä tahansa kahden Cantorin luvun välissä on luku, joka ei ole Cantorin luku.
Kuvaileva joukko-oppiMuokkaa
Cantorin joukko on niukan joukon (tai ensimmäisen luokan joukon) osajoukkona (ei tosin itsensä osajoukkona, koska se on Baire-avaruus). Cantorin joukko osoittaa siten, että käsitteiden ”koko” kardinaalisuuden, mitan ja (Baire-)kategorian kannalta ei tarvitse olla yhteneväisiä. Kuten joukko Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }
, Cantorin joukko C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
on ”pieni” siinä mielessä, että se on nollajoukko (joukko, jonka mitta on nolla) ja se on niukka osajoukko . Toisin kuin Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q } \cap }
, joka on laskettavissa ja jolla on ”pieni” kardinaliteetti, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}
, C:n kardinaalisuus {\displaystyle {\mathcal {C}}}
on sama kuin , jatkumo c {\displaystyle {\mathfrak {c}}}
, ja on ”suuri” kardinaalisuuden merkityksessä. Itse asiassa on myös mahdollista konstruoida osajoukko, joka on niukka mutta positiivisen mittainen, ja osajoukko, joka ei ole niukka mutta jonka mitta on nolla: Ottamalla ”paksujen” Cantor-joukkojen C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}} laskettavissa oleva unioni.
jonka mitta λ = ( n – 1 ) / n {\displaystyle \lambda =(n-1)/n}
(katso Smith-Volterra-Cantor-joukon konstruktio jäljempänä), saadaan joukko A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {\mathcal {A}}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}
jolla on positiivinen mitta (yhtä suuri kuin 1), mutta joka on niukka , koska jokainen C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}
ei ole missään tiheä. Tarkastellaan sitten joukkoa A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}}^{\mathrm {c} }=\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}
. Koska A ∪ A c = {\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c}} }=}
, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}}^{\mathrm {c} }}
ei voi olla niukka, mutta koska μ ( A ) = 1 {\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}
, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c}} }}
on oltava mitta nolla.