Briscoen isä Kevin ei aluksi sallinut Briscoen ajaa kilpaa. Myöhemmin hän taipui ja antoi Chasen ajaa kilpaa tapana viettää perheaikaa. Viisi vuotta myöhemmin hän palasi kilpaurheilun pariin ja ajoi 410 sprint-autoa 13-vuotiaana. Tuona vuonna hän saavutti 17 kärkikymmenikköön sijoittumista ja voiton kauden viimeisessä kilpailussa; hänestä tuli nuorin kuljettaja, joka on voittanut 410 sprint car -kilpailun, ja hän päihitti NASCAR-mestari Jeff Gordonin ennätyksen vuodella, vaikka hän ajoi kilpaa moottorilla vuodelta 1993.
Vuonna 2013 Briscoe haki Peak Stock Car Dream Challenge -kilpailuun, jonka voittaja palkitaan Michael Waltrip Racing -kilpailun kyydillä. Vaikka hän voitti suurimman osan radalla ajetuista kilpailuista, hän sijoittui haasteessa toiseksi Patrick Staropolin jälkeen. Michael Waltrip Racingin silloinen johtaja Ty Norris kertoi Briscoelle jälkikäteen, että vaikka hän ei voittanut haastetta, Briscoen tulisi silti jatkaa kilpauraa. Myöhemmin vuonna hän teki NASCAR K&N Pro Series West -debyyttinsä NAPA Speedwaylla, jossa hän sijoittui kahdeksanneksi. Hän ajoi sillä kaudella vielä kaksi kilpailua sarjassa sijoittuen 13. ja 27. sijalle Kern County Raceway Parkissa ja Phoenix International Racewaylla. Briscoe muutti Indianasta Charlotteen, Pohjois-Carolinaan vuonna 2014 siinä toivossa, että saisi yhteyksiä kilpa-ajomaailmaan.
Vuonna 2015 ystävä ja kuljettaja Christopher Bell otti Briscoeen yhteyttä koskien sopimusta Roush Fenway Racingin kanssa, mikä johti testisessioon ARCA Racing Series -tiimin Cunningham Motorsportsin kanssa. Tiimin omistaja Kerry Scherer soitti Briscoelle testeistä, kun Briscoe oli ajamassa takaisin Indianaan Charlottesta luovuttuaan kilpaurastaan. Kahden Mobile International Speedwaylla ja Fairgrounds Speedwaylla suoritetun testin jälkeen hän teki ARCA-debyyttinsä Indianapolisin Lucas Oil Racewaylla, jossa hän sijoittui kymmenenneksi. Toisessa ARCA-startissaan Salem Speedwaylla hän sijoittui seitsemänneksi ja myöhemmin viidenneksi. Briscoe solmi henkilökohtaisen ystävyyssuhteen Briggs Cunningham III:n kanssa kauden 2015 lopulla, ja hänelle tarjottiin koko kauden kyytiä kaudelle 2016, minkä Briscoe hyväksyi. Hän voitti kauden aikana kuusi osakilpailua ja voitti vuoden 2016 mestaruuden 535 pisteen erolla toiseksi sijoittuneeseen Tom Hessertiin.
Truck SeriesEdit
Vuonna 2017 Briscoe liittyi vastaperustettuun Ford Performance NASCAR Driver Development Program -ohjelmaan ja Camping World Truck Series -sarjan Brad Keselowski Racing -tiimiin ajaen täysipäiväisesti No. 29 Cooper Standard Ford F-150 -autoa. Briscoe sijoittui Truck Series -debyytissään Daytonassa kolmanneksi välttämällä valtavan kolarin viimeisellä kierroksella ajettuaan lähes koko päivän kymmenen parhaan joukossa. Briscoe sai uransa ensimmäisen Truck Series -paalupaikan Dover International Speedwaylla ja sijoittui kilpailussa 12:nneksi. Myöhemmin kauden aikana Briscoe saavutti uransa ensimmäisen voiton Homestead-Miami Speedwayllä. Hänet nimettiin Truck Seriesin suosituimmaksi kuljettajaksi vuonna 2017. BKR lopetti toimintansa kauden jälkeen, jolloin Briscoe jäi ilman kyytiä. Ennen kauden 2017 alkua Briscoelle tarjottiin kyytiä Hendrick Motorsportsilta, mutta hän ei tuonut tarpeeksi sponsoritukea, jotta hän olisi voinut hyödyntää tarjousta.
Briscoe palasi Truck Series -sarjaan vuonna 2018 ajamalla ThorSport Racingin autolla nro 27 Eldora Speedwaylla ja voitti valokuvakilpailussa tiimikaverinsa Grant Enfingerin. Seuraavana vuonna hän palasi ThorSportin kanssa vuoden 2019 Dirt Derbyyn, jossa hän sijoittui seitsemänneksi.
Vuonna 2021 Briscoe liittyi Roper Racingin riveihin Bristolin hiekkakilpailuun.
Xfinity SeriesTiedoksianto
Vuonna 2018 Briscoe ajoi osa-aikaista aikataulua NASCAR:n Xfinity Seriesissä. Briscoe ajoi kilpailuja sekä Roush Fenway Racingin Fordilla nro 60 että Stewart-Haas Racingin Fordilla nro 98. Myöhemmin samana vuonna Briscoe voitti Xfinity-sarjan avauskilpailun Charlotten Roval-kisassa torjuttuaan Justin Marksin ja Austin Cindricin.
Briscoe lupautui täysipainoiseen Xfinity-sarjaan SHR:n No. 98 -autolla vuonna 2019. Heinäkuussa Briscoe saavutti uransa toisen Xfinity Series -voiton Iowa Speedwaylla. Hän kelpuutettiin vuoden 2019 NASCAR Xfinity Seriesin pudotuspeleihin, kun hän oli saavuttanut 10 peräkkäistä top 10 -sijoitusta. Briscoe sijoittui kauden 2019 pisteissä viidenneksi ajettuaan Homesteadissa kolmanneksi.
Sen jälkeen, kun sponsoriongelmat uhkasivat viedä Briscoen pois istuimelta, hän varmisti riittävän rahoituksen ajamaan NASCAR Xfinity Series -kauden 2020. Briscoe voitti sateen viivästyttämän Boyd Gaming 300 -kilpailun Las Vegas Motor Speedwaylla; hän johti 27 kierrosta 50:stä ennen kuin sää pakotti lykkäämään loppukilpailua, minkä jälkeen hän ajoi 62 kierrosta sunnuntaina, jolloin hän johti kilpailussa 89 kierrosta matkalla voittoon. Darlingtonissa vaimonsa kärsittyä keskenmenosta Briscoe saavutti uransa neljännen Xfinity Series -voiton pidättelemällä Kyle Buschia.
Cup SeriesEdit
20.10.2020 Stewart-Haas Racing ilmoitti, että Briscoe nousee Cup-sarjaan vuonna 2021 ja korvaa Clint Bowyerin No. 14 Ford Mustangilla. HighPoint.com, joka sponsoroi Briscoen Xfinity-autoa, seurasi häntä Cup-talliin.