Rock’n’rollin myötä Norman hankki ensimmäisen kitaransa seitsenvuotiaana. Hänen varhaisia musiikillisia vaikutteita olivat Elvis Presley, Little Richard ja Lonnie Donegan.
Näinä varhaisvuosina Normanin vanhemmat muuttivat paljon ympäri maata, minkä seurauksena hän kävi yhdeksää eri koulua ja asui eri puolilla Englantia, kuten Redcarissa, Lutonissa, Kimptonissa ja Nottinghamissa. Vuoteen 1962 mennessä perhe oli kuitenkin muuttanut takaisin Normanin äidin kotikaupunkiin Bradfordiin. Lähestyessään kahdettatoista syntymäpäiväänsä Norman aloitti St Bede’s Grammar Schoolissa, jossa hän tapasi Alan Silsonin ja Terry Uttleyn, Smokien tulevat jäsenet.
Teini-ikäisinä, Beatlesin ja Rolling Stonesin kaltaisten yhtyeiden ja silloisen folk-laulajan Bob Dylanin kaltaisten yhtyeiden uuden aikakauden vaikutuksen alaisina Norman ja Silson alkoivat tavata toisiaan ja viettivät melkein kaiken vapaa-aikansa opettelemalla kitaroillaan uusia kappaleita. He onnistuivat suostuttelemaan Uttleyn mukaansa, ja yhdessä rumpaliystävänsä Ron Kellyn kanssa he perustivat ensimmäisen bändinsä. The Yen, Essence ja Long Side Down olivat vain joitakin monista eri nimistä, joilla he kutsuivat itseään, ennen kuin he päätyivät nimeen ”The Elizabethans”. Kun Ron Kelly jätti yhtyeen vuonna 1973, vanhaa ystävää Pete Spenceriä pyydettiin rumpaliksi, ja yhtye, josta tuli Smokie, oli valmis.
Välillä 1974 ja 1980-luvun alkupuolella Smokie nautti menestyksestä kiertämällä eri puolilla maailmaa, mutta jatkuvan poissaolon rasitus ja paineet kotoa ja perheestä alkoivat kertoa Normanille. 1980-luvun alussa hän päätti viettää enemmän aikaa kirjoittamiseen ja studiotyöskentelyyn. Norman ja Spencer tekivät nyt yhdessä kappaleita muille artisteille, kuten hittejä Kevin Keeganille (”Head Over Heels in Love”, nro 31 UK-hitti) ja Englannin jalkapallojoukkueen kappaleelle ”This Time (We’ll Get It Right)”. Hän työskenteli myös Agnetha Fältskogin (tämän sooloalbumilla), Raceyn (toinen kirjoittaja kappaleessa ”Baby It’s You”), Donovanin (taustalaulu kappaleessa Donovan) ja Heavy Metal Kidsin kanssa.
Vuonna 1978 Norman levytti Suzi Quatron kanssa dueton ”Stumblin’ In”, joka nousi No. 4. sijalle Yhdysvaltain Billboard Hot 100 -listalla ja sitä myytiin yli miljoona kappaletta.
Normanin sooloura lähti käyntiin vuonna 1986 kappaleella ”Midnight Lady”, joka oli hitti kaikkialla Euroopassa pitäen ykkössijaa Saksassa kuuden viikon ajan (jossa sitä myytiin 900 000 kappaletta). Menestystä jatkoivat kappaleet ”Some Hearts Are Diamonds”, ”No Arms Can Ever Hold You”, ”Broken Heroes”, ”Fearless Hearts”, ”Sarah” ja ”Baby I Miss You”. Vuonna 1994 CMT Europe palkitsi Normanin ”Vuoden kansainvälisenä videotähtenä”.
Vuonna 2004 hän osallistui saksalaisen ProSiebenin Comeback Show’hun ja esitti ”Stumblin’ In” duettona C. C. Catchin kanssa. Ohjelman viimeisessä jaksossa Smokie liittyi hänen seurakseen viimeiseen kappaleeseen.
2. kesäkuuta 2007 Norman esiintyi Peel Bay -festivaalilla, Mansaarella.