SeismologiaEdit
Käsitteellä dekonvoluutio oli varhainen sovellus heijastusseismologiassa. Vuonna 1950 Enders Robinson oli jatko-opiskelijana MIT:ssä. Hän työskenteli muiden MIT:ssä työskentelevien, kuten Norbert Wienerin, Norman Levinsonin ja taloustieteilijä Paul Samuelsonin kanssa kehittääkseen heijastusseismogrammin ”konvoluutiomallin”. Tässä mallissa oletetaan, että tallennettu seismogrammi s(t) on maan heijastusfunktion e(t) ja pistemäisestä lähteestä peräisin olevan seismisen aaltoliikkeen w(t) konvoluutio, jossa t edustaa tallennusaikaa. Näin ollen konvoluutioyhtälömme on
s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {
Seismologi on kiinnostunut e:stä, joka sisältää tietoa Maan rakenteesta. Konvoluutioteorian avulla tämä yhtälö voidaan muuttaa Fourier-muunnoksella muotoon
S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {\displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\,
taajuusalueella, jossa ω \displaystyle \omega }.
on taajuusmuuttuja. Kun oletetaan, että heijastuvuus on valkoinen, voidaan olettaa, että heijastuvuuden tehospektri on vakio ja että seismogrammin tehospektri on aaltospektri kerrottuna tällä vakiolla. Näin ollen | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {
Jos oletamme, että wavelet on minimivaiheinen, voimme palauttaa sen laskemalla juuri löytämämme tehospektrin minimivaihe-ekvivalentin. Heijastavuus voidaan palauttaa suunnittelemalla ja soveltamalla Wiener-suodatinta, joka muokkaa arvioidun waveletin Dirac-deltafunktioksi (eli piikiksi). Tulos voidaan nähdä sarjana skaalattuja, siirrettyjä deltafunktioita (vaikka tämä ei olekaan matemaattisesti tiukkaa):
e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),}
joissa N on heijastustapahtumien lukumäärä, r i {\displaystyle r_{i}}}
ovat heijastuskertoimet, t – τ i {\displaystyle t-\tau _{i}}
ovat kunkin tapahtuman heijastusajat, ja δ {\displaystyle \delta }
on Diracin deltafunktio.
Käytännössä, koska olemme tekemisissä meluisten, äärellisen kaistanleveyden, äärellisen pituisten, diskreetisti näytteistettyjen datajoukkojen kanssa, yllä oleva menettely tuottaa vain approksimaation suodattimesta, jota tarvitaan datan dekonvoluutioon. Kuitenkin muotoilemalla ongelma Toeplitz-matriisin ratkaisuksi ja käyttämällä Levinsonin rekursiota voimme suhteellisen nopeasti arvioida suodattimen, jonka keskimääräinen neliövirhe on mahdollisimman pieni. Voimme myös tehdä dekonvoluution suoraan taajuusalueella ja saada samanlaisia tuloksia. Tekniikka liittyy läheisesti lineaariseen ennustamiseen.
Optiikka ja muu kuvantaminenEdit
Optiikassa ja kuvantamisessa termiä ”dekonvoluutio” käytetään erityisesti viittaamaan prosessiin, jossa optisessa mikroskoopissa, elektronimikroskoopissa, teleskoopissa tai muussa kuvantamisvälineessä tapahtuva optinen vääristymä käännetään, jolloin saadaan aikaan selkeämpiä kuvia. Se tehdään yleensä digitaalisesti ohjelmistoalgoritmin avulla osana mikroskoopin kuvankäsittelytekniikoiden kokonaisuutta. Dekonvoluutio on käytännöllistä myös sellaisten kuvien terävöittämiseksi, jotka kärsivät nopeasta liikkeestä tai tärähdyksistä kuvauksen aikana. Hubble-avaruusteleskoopin varhaiset kuvat vääristyivät virheellisen peilin vuoksi, ja ne terävöitettiin dekonvoluutiolla.
Tavanomainen menetelmä on olettaa, että optinen reitti instrumentin läpi on optisesti täydellinen, ja siihen liitetään pisteen leviämisfunktio (point spread function, PSF) eli matemaattinen funktio, joka kuvaa vääristymää teoreettisen pistemäisen valonlähteen (tai muiden aaltojen) kulkeman reitin avulla instrumentin läpi. Yleensä tällainen pistelähde aiheuttaa lopulliseen kuvaan pienen epäselvyysalueen. Jos tämä funktio voidaan määrittää, on vain laskettava sen käänteisfunktio tai komplementtifunktio ja konvolvoitava saatu kuva sen kanssa. Tuloksena on alkuperäinen, vääristymätön kuva.
Käytännössä todellisen PSF:n löytäminen on mahdotonta, ja yleensä käytetään sen approksimaatiota, joka on laskettu teoreettisesti tai joka perustuu johonkin kokeelliseen arviointiin käyttämällä tunnettuja koettimia. Todellisessa optiikassa voi myös olla erilaisia PSF:iä eri polttoväli- ja avaruuspaikoissa, ja PSF voi olla epälineaarinen. PSF:n approksimaation tarkkuus määrää lopullisen tuloksen. Erilaisia algoritmeja voidaan käyttää parempien tulosten aikaansaamiseksi, mutta niiden hinta on laskentatehokkaampi. Koska alkuperäisessä konvoluutiossa häviää tietoa, jotkin algoritmit käyttävät läheisistä polttopisteistä hankittua lisätietoa korvatakseen osan menetetystä informaatiosta. Säännöstelyä iteratiivisissa algoritmeissa (kuten odotusarvon maksimointialgoritmeissa) voidaan käyttää epärealististen ratkaisujen välttämiseksi.
Kun PSF ei ole tiedossa, se voidaan ehkä päätellä kokeilemalla systemaattisesti erilaisia mahdollisia PSF:iä ja arvioimalla, onko kuva parantunut. Tätä menettelyä kutsutaan sokeaksi dekonvoluutioksi. Sokea dekonvoluutio on vakiintunut kuvanpalautustekniikka tähtitieteessä, jossa kuvattujen kohteiden pistemäinen luonne paljastaa PSF:n, mikä tekee siitä helpommin toteutettavissa olevan. Sitä käytetään myös fluoresenssimikroskopiassa kuvan palauttamiseen ja fluoresenssispektrikuvantamisessa useiden tuntemattomien fluorofoorien spektriseen erotteluun. Yleisin iteratiivinen algoritmi tähän tarkoitukseen on Richardson-Lucy-dekonvoluutioalgoritmi; Wiener-dekonvoluutio (ja approksimaatiot) ovat yleisimpiä ei-iteratiivisia algoritmeja.
Joidenkin erityisten kuvantamisjärjestelmien, kuten laserpulssi-terahertsijärjestelmien, PSF voidaan mallintaa matemaattisesti. Tämän seurauksena, kuten kuvassa on esitetty, mallinnetun PSF:n ja terahertsikuvan dekonvoluutio voi antaa terahertsikuvasta korkeamman resoluution esityksen.
RadioastronomiaEdit
Toteuttaessa kuvasynteesiä radiointerferometriassa, joka on erityinen radioastronomian laji, yksi vaihe koostuu tuotetun kuvan dekonvoluutiosta ”likaisen säteen” kanssa, joka on eri nimitys pisteen leviämisfunktiolle. Yleisesti käytetty menetelmä on CLEAN-algoritmi.
AbsorptiospektritEdit
Dekonvoluutiota on sovellettu laajasti absorptiospektreihin. Voidaan käyttää Van Cittertin algoritmia (artikkeli saksaksi).
Fourier-muunnosnäkökohtiaMuokkaa
Edit
Dekonvoluutio kuvaa jakoa Fourierin rinnakkaisalueella. Tämän ansiosta dekonvoluutiota voidaan helposti soveltaa kokeelliseen dataan, johon sovelletaan Fourier-muunnosta. Esimerkkinä on NMR-spektroskopia, jossa tiedot tallennetaan aika-alueella, mutta analysoidaan taajuusalueella. Aika-alueen datan jakaminen eksponenttifunktiolla pienentää Lorenzin viivojen leveyttä taajuusalueella.