Vaikka sekä Descartes että Fermat ehdottivat kolmen koordinaatin käyttämistä avaruuden käyrien ja pintojen tutkimiseen, kolmiulotteinen analyyttinen geometria kehittyi hitaasti, kunnes noin vuonna 1730 sveitsiläiset matemaatikot Leonhard Euler ja Jakob Hermann sekä ranskalainen matemaatikko Alexis Clairaut tuottivat yleiset yhtälöt sylintereille, kartioille ja pyörähdyspinnoille. Euler ja Hermann osoittivat esimerkiksi, että yhtälö f(z) = x2 + y2 antaa pinnan, joka syntyy, kun käyrää f(z) = x2 kierretään z-akselin ympäri (ks. kuva, jossa on elliptinen paraboloidi z = x2 + y2).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Newton esitti huomionarvoisen väitteen, että kaikki tasokuutiot syntyvät hänen kolmannessa vakiomuodossaan olevista tasokuutioista projisoimalla tasojen välillä. Clairaut ja ranskalainen matemaatikko François Nicole todistivat tämän itsenäisesti vuonna 1731. Clairaut sai kaikki Newtonin neljän vakiolomakkeen kuutiot Newtonin neljän vakiolomakkeen kuution conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 leikkauksina, jotka koostuvat avaruuden suorista, jotka yhdistävät origon (0, 0, 0) kolmannen vakiolomakkeen pisteisiin tasossa z = 1. Tämän jälkeen Clairaut sai kaikki Newtonin neljän vakiolomakkeen kuutiolomakkeet.
Euler käytti vuonna 1748 avaruudessa tapahtuvien kiertojen ja käännösten yhtälöitä muuttaakseen yleisen nelikulmaisen pinnanax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 siten, että sen pääakselit yhtyvät koordinaattiakseleiden kanssa. Euler ja ranskalaiset matemaatikot Joseph-Louis Lagrange ja Gaspard Monge tekivät analyyttisen geometrian riippumattomaksi synteettisestä (ei-analyyttisestä) geometriasta.
Vektorianalyysi
Minkä tahansa ulottuvuuden euklidisessa avaruudessa vektorit-suuntautuneet viivapätkät-voivat olla määriteltävissä koordinaateilla. N-tupli (a1, …, an) edustaa n-ulotteisessa avaruudessa vektoria, joka projisoituu koordinaattiakseleilla oleviin reaalilukuihin a1, …, an.
Irlantilainen matemaatikko ja tähtitieteilijä William Rowan Hamilton esitti vuonna 1843 neliulotteiset vektorit algebrallisesti ja keksi kvaternionit, ensimmäisen laajasti tutkitun ei-kommutatiivisen algebran. Kvaternionien kertominen yhdellä koordinaattinollakohdalla johti Hamiltonin löytämään vektoreiden perusoperaatiot. Matemaattiset fyysikot pitivät kuitenkin vektorianalyysissä käytettyä merkintätapaa joustavampana – erityisesti se on helposti laajennettavissa ääretönulotteisiin tiloihin. Kvaternionit olivat edelleen kiinnostavia algebrallisesti, ja ne sisällytettiin 1960-luvulla tiettyihin uusiin hiukkasfysiikan malleihin.
Projektiot
Kun helposti saatavilla oleva laskentateho kasvoi räjähdysmäisesti 1900-luvun viimeisinä vuosikymmeninä, tietokoneanimaatioista ja tietokoneavusteisesta suunnittelusta tuli jokapäiväistä. Nämä sovellukset perustuvat kolmiulotteiseen analyyttiseen geometriaan. Koordinaattien avulla määritetään reunat tai parametriset käyrät, jotka muodostavat virtuaalisten objektien pintojen rajat. Vektorianalyysia käytetään valaistuksen mallintamiseen ja pintojen realististen varjostusten määrittämiseen.
Jo vuonna 1850 Julius Plücker oli yhdistänyt analyyttisen ja projektiivisen geometrian ottamalla käyttöön homogeeniset koordinaatit, jotka esittävät pisteitä euklidisessa tasossa (ks. euklidinen geometria) ja äärettömyydessä yhtenäisellä tavalla kolmioina. Projektiiviset muunnokset, jotka ovat homogeenisten koordinaattien käänteismuunnoksia, saadaan matriisikertoimella. Näin tietokonegrafiikkaohjelmat voivat tehokkaasti muuttaa kuvattujen kohteiden muotoa tai näkymää ja projisoida ne kolmiulotteisesta virtuaaliavaruudesta kaksiulotteiselle katseluruudulle.
Robert Alan BixHarry Joseph D’SouzaHarry Joseph D’Souza