Rannikkoparadoksi

Tämä jakso tarvitsee lisälauseita tarkistusta varten. Auta parantamaan tätä artikkelia lisäämällä viittauksia luotettaviin lähteisiin. Lähteetön materiaali voidaan kyseenalaistaa ja poistaa. (Helmikuu 2015) (Opi, miten ja milloin voit poistaa tämän malliviestin)

Pituuden peruskäsite on peräisin euklidisesta etäisyydestä. Euklidisessa geometriassa suora edustaa lyhintä etäisyyttä kahden pisteen välillä. Tällä suoralla on vain yksi pituus. Pallon pinnalla tämä korvataan geodeettisella pituudella (jota kutsutaan myös suurympyrän pituudeksi), joka mitataan pintakäyrää pitkin, joka on olemassa tasossa, joka sisältää molemmat päätepisteet ja pallon keskipisteen. Peruskäyrien pituus on monimutkaisempi, mutta se voidaan myös laskea. Mittaamalla viivoittimilla voidaan likimääräisesti arvioida käyrän pituus laskemalla yhteen pisteitä yhdistävien suorien summa:

Käyrän pituuden likimääräinen laskeminen muutamalla suoralla tuottaa todellista pituutta pienemmän arvion; kun käytetään yhä lyhyempiä (ja siten useampia) suoria, summa lähestyy käyrän todellista pituutta. Tarkka arvo tälle pituudelle saadaan laskennan avulla, joka on matematiikan osa-alue, joka mahdollistaa äärettömän pienten etäisyyksien laskemisen. Seuraava animaatio havainnollistaa, miten sileälle käyrälle voidaan mielekkäästi määrittää tarkka pituus:

Kaikkea käyrää ei kuitenkaan voida mitata tällä tavoin. Fraktaali on määritelmän mukaan käyrä, jonka monimutkaisuus muuttuu mitta-asteikon myötä. Siinä missä sileän käyrän approksimaatiot pyrkivät yhteen arvoon mittaustarkkuuden kasvaessa, fraktaalin mitattu arvo ei konvergoi.

Tämä Sierpińskin käyrä (eräänlainen avaruuden täyttävä käyrä), joka toistaa samaa kaavaa yhä pienemmässä mittakaavassa, jatkaa pituuden kasvua. Jos sen ymmärretään iteroituvan äärettömän jaollisen geometrisen avaruuden sisällä, sen pituus pyrkii äärettömyyteen. Samalla käyrän ympäröimä pinta-ala kuitenkin konvergoi täsmälliseen lukuun – aivan kuten vastaavasti saaren maamassan voi laskea helpommin kuin sen rantaviivan pituuden.

Koska fraktaalikäyrän pituus divergoi aina äärettömään, jos rantaviivaa mitattaisiin äärettömällä tai lähes äärettömällä erotuskyvyllä, rantaviivan äärettömän lyhyiden kumpareiden pituudet summautuisivat äärettömään. Tämä luku perustuu kuitenkin oletukseen, että avaruus voidaan jakaa äärettömän pieniin osiin. Tämän oletuksen – joka on euklidisen geometrian perustana ja joka toimii hyödyllisenä mallina jokapäiväisessä mittaamisessa – totuusarvo on filosofinen spekulaatio, ja se saattaa heijastaa tai olla heijastamatta ”tilan” ja ”etäisyyden” muuttuvaa todellisuutta atomitasolla (noin nanometrin mittakaavassa). Esimerkiksi Planckin pituutta, joka on monta kertaluokkaa atomia pienempi, ehdotetaan maailmankaikkeuden pienimmäksi mahdolliseksi mitattavaksi yksiköksi.

Rannikkoviivat eivät ole yhtä yksiselitteisiä rakentumisessaan kuin Mandelbrotin joukon kaltaiset idealisoidut fraktaalit, koska ne muodostuvat erilaisista luonnollisista tapahtumista, jotka synnyttävät kuvioita tilastollisesti satunnaisilla tavoilla, kun taas idealisoidut fraktaalit muodostuvat yksinkertaisten kaavamaisten sekvenssien toistuvien iteraatioiden kautta.

Jätä kommentti