Sattumanvaraisen matriisiteorian lähtökohtana on oletus, että monimutkaisen systeemin laajamittainen käyttäytyminen määräytyy sen symmetrioiden ja parametrien tilastollisten ominaisuuksien perusteella, eikä se ole kovinkaan riippuvainen kunkin vuorovaikutuksessa olevan elementin tarkoista yksityiskohdista. Teorian tarkoituksena on lähinnä määrittää satunnaismatriisien ominaisarvojen ja -vektoreiden tilastoja suuren koon rajoissa. Varhaisessa työssä, joka sai alkunsa ydinfysiikasta, keskityttiin kokonaisuuksiin, joilla oli sekä Hermitin symmetria että kaikkien vuorovaikutukset, kuten tilastollisen fysiikan keskikenttämalleissa. Kaiken kaikkiaan -oletuksen höllentäminen tuo mukanaan topologista epäjärjestystä ja johtaa harvojen satunnaismatriisien muodostamiin kokonaisuuksiin, joissa on paljon nollamatriisin merkintöjä. Tällaiset matriisit mallintavat monimutkaisia systeemejä, joissa tietty vapausaste on vuorovaikutuksessa äärellisen määrän muiden kanssa, ja ne esiintyvät luontevasti esimerkiksi hermoverkkojen tai ekosysteemien kaltaisten systeemien yhteydessä.
Tämästä laajasta merkityksestä huolimatta harvoja ei-hermitiläisiä satunnaismatriiseja on kuitenkin tutkittu merkittävästi vasta viime vuosikymmenen aikana, koska satunnaismatriisiteorian tavanomaisia analyysimenetelmiä ei voida soveltaa. Tiukkoja tuloksia tällaisille matriiseille ei juuri ole, koska on hyvin vaikeaa todistaa ominaisarvojen ja -vektoreiden ominaisuuksien konvergenssi deterministiseen raja-arvoon suurilla matriisikokoluokilla. Viimeaikaisessa tutkimuksessa on kuitenkin edistytty uusien lähestymistapojen avulla. Uudessa artikkelissa LML:n tutkija Fernando Metz sekä Izaak Neri King’s College Londonista ja Tim Rogers Bathin yliopistosta tarkastelevat teoreettista edistystä harvalukuisten ei-hermitiläisten satunnaismatriisien spektrien tutkimuksessa keskittyen tarkkoihin lähestymistapoihin, jotka perustuvat hedelmälliseen analogiaan satunnaismatriisilaskennan ja epäjärjestyneiden spin-systeemien tilastomekaniikan välillä. Kuten he osoittavat, yksinkertaisten mallien osalta näillä menetelmillä saadaan analyyttisiä tuloksia harvojen ei-Hermitiläisten satunnaismatriisien spektriominaisuuksista. Monimutkaisemmille malleille spektriominaisuudet voidaan laskea myös suuren koon rajoissa numeeristen algoritmien avulla.
Metz ja kollegat päättävät katsauksensa toteamalla, että harvojen ei-Hermitiläisten satunnaismatriisien teoria on vielä lapsenkengissään verrattuna klassiseen satunnaismatriisiteoriaan, ja monia kysymyksiä on ratkaisematta. Yksi niistä on kysymys universaalisuudesta. Kiinnostus satunnaismatriisiteoriaa kohtaan riippuu suurelta osin monien spektrihavaintomuuttujien universaalista käyttäytymisestä, joka mahdollistaa monimutkaisten dynaamisten järjestelmien stabiilisuuden tutkimisen. Harvalukuisten satunnaismatriisien tapauksessa tämä mahdollisuus näyttää häviävän graafirakenteen voimakkaiden paikallisten vaihteluiden vuoksi. Osoittautuu kuitenkin, että monilla harvojen ei-hermitiläisten satunnaismatriisien kokonaisuuksilla on joitakin universaaleja ominaisuuksia, kuten spektrinen aukko, ominaisarvo, jolla on suurin reaaliosa, ja tätä ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorihetket. Nämä spektriominaisuudet määräävät kompleksisten järjestelmien stabiilisuuden ja tasapainotilan dynamiikan. Näin ollen näyttää siltä, että on toivoa löytää universaalia käyttäytymistä harvalukuisille matriiseille, jos tarkastellaan oikeita havaintokertoimia, mikä voisi johtaa parempaan ymmärrykseen universaalisuudesta suurissa dynaamisissa systeemeissä.
Paperin esipainos on saatavilla osoitteessa https://arxiv.org/abs/1811.10416
.