joukkojen ominaisuudet operaation alla
Matemaatikot ovat usein kiinnostuneita siitä, onko tietyillä joukoilla tiettyjä ominaisuuksia tietyn operaation alla. Yksi syy siihen, että matemaatikot olivat tästä kiinnostuneita, oli se, että he pystyivät määrittämään, milloin yhtälöillä on ratkaisuja. Jos joukolla on tietyn operaation alaisena tiettyjä yleisiä ominaisuuksia, voimme ratkaista esimerkiksi lineaarisia yhtälöitä kyseisellä joukolla.
On olemassa useita tärkeitä ominaisuuksia, jotka joukko voi täyttää tai olla täyttämättä tietyssä operaatiossa. Ominaisuus on tietty sääntö, joka pätee, jos se on tosi kaikille joukon alkioille tietyn operaation alla, ja ominaisuus ei päde, jos on olemassa vähintään yksi alkioiden pari, joka ei noudata ominaisuutta tietyn operaation alla.
Puhuessamme ominaisuuksista näin abstraktisti ei ole vielä mitään järkeä, joten katsotaanpa muutamia esimerkkejä ominaisuuksista, jotta ymmärtäisit paremmin, mitä ne ovat. Tällä luennolla tutustumme sulkeutumisominaisuuteen.
Sulkeutumisominaisuus
Joukolla on sulkeutumisominaisuus tietyssä operaatiossa, jos operaation tulos on aina joukon alkio. Jos joukolla on sulkeutumisominaisuus tietyn operaation alla, sanomme, että joukko on ”suljettu operaation alla”.
Ominaisuuden ymmärtäminen on paljon helpompaa tarkastelemalla esimerkkejä kuin pelkästään puhumalla siitä abstraktisti, joten siirrymme tarkastelemaan esimerkkejä, jotta näet tarkalleen, mistä puhumme, kun sanomme, että joukolla on sulkeutuneisuusominaisuus:
Katsotaan ensin muutamia äärettömiä joukkoja, joiden operaatiot ovat meille jo tuttuja:
a) Kokonaislukujen joukko on suljettu yhteenlaskuoperaation suhteen, koska minkä tahansa kahden kokonaisluvun summa on aina toinen kokonaisluku ja kuuluu siis kokonaislukujen joukkoon.
b) Kokonaislukujen joukko ei ole suljettu jako-operaatiossa, koska kun yksi kokonaisluku jaetaan toisella, vastaukseksi ei aina saada toista kokonaislukua. Esimerkiksi 4 ja 9 ovat molemmat kokonaislukuja, mutta 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 ei ole kokonaisluku, joten se ei kuulu kokonaislukujen joukkoon!
nähdäksesi lisää esimerkkejä äärettömistä joukoista, jotka täyttävät ja jotka eivät täytä sulkeutumisominaisuutta.
c) Rationaalilukujen joukko on suljettu kertolaskun operaation suhteen, koska minkä tahansa kahden rationaaliluvun tulo on aina toinen rationaaliluku, ja se kuuluu siten rationaalilukujen joukkoon. Tämä johtuu siitä, että kahden murtoluvun kertominen antaa tulokseksi aina toisen murtoluvun, sillä kahden murtoluvun a/b ja c/d tulo antaa tulokseksi ac/bd. Ainoa mahdollinen tapa, jolla ac/bd ei voisi olla murtoluku, on se, että bd on yhtä suuri kuin 0. Mutta jos a/b ja c/d ovat molemmat murtolukuja, tämä tarkoittaa, ettei b eikä d ole 0, joten bd ei voi olla 0.
d) Luonnollisten lukujen joukko ei ole suljettu vähennyslaskuoperaatiolla, koska kun vähennät yhden luonnollisen luvun toisesta luvusta, et aina saa toista luonnollista lukua. Esimerkiksi 5 ja 16 ovat molemmat luonnollisia lukuja, mutta 5 – 16 = – 11. – 11 ei ole luonnollinen luku, joten se ei kuulu luonnollisten lukujen joukkoon!
Katsotaan nyt muutamia esimerkkejä äärellisistä joukoista, joiden operaatiot eivät ehkä ole meille tuttuja:
e) Joukko {1,2,3,4} ei ole suljettu yhteenlaskun operaation alla, koska 2 + 3 = 5, ja 5 ei ole joukon {1,2,3,4} alkio.
Voidaan nähdä tämä myös tarkastelemalla joukon {1,2,3,4} operaatiotaulukkoa yhteenlaskuoperaation alla:
|
+ |
||||
joukko{1,2,3,4} ei ole suljettu operaatiolla +, koska on olemassa ainakin yksi tulos (kaikki tulokset on tummennettu oranssilla), joka ei ole joukon {1,2,3,4} alkio. Kaavio sisältää tulokset 5, 6, 7 ja 8, joista yksikään ei ole joukon {1,2,3,4} alkio!
f) Joukossa {a,b,c,d,e} on seuraava operaatiotaulukko operaatiolle *:
|
* |
a |
b |
c |
d |
e |
||||
|
a > |
a |
b |
d |
c > |
e |
e |
a |
d |
|
|
b |
d |
a |
c |
b |
e |
||||
|
c |
c |
d |
b |
e |
a |
||||
|
d |
a |
a |
e > |
a |
a |
a |
a |
c |
b |
|
e |
e |
e |
e |
b |
a |
d |
c |
joukko{a,b,c,d,e} on suljettu operaatiolla *, koska kaikki tulokset (jotka on tummennettu oranssilla) ovat joukon {a,b,c,d,e} alkioita.
Katsotaan toinen esimerkki.
g) Joukon {a,b,c,d,e} operaatiolle $ on seuraava operaatiotaulukko:
|
a |
b |
c |
d |
e |
|
|
a |
b |
f |
e |
a |
h |
|
b |
d |
a |
c |
h |
e |
|
c |
c |
d |
b |
g |
a |
|
d |
g > |
g |
e |
e |
a |
|
d |
g |
c |
b |
||
|
e |
e |
b |
h |
d |
c |
joukko{a,b,c,d,e} ei ole suljettu operaatiolla $, koska on olemassa ainakin yksi tulos (kaikki tulokset on tummennettu oranssilla), joka ei ole joukon {a,b,c,d,e} alkio. Esimerkiksi kaavion mukaan a$b=f. Mutta f ei ole {a,b,c,d,e}:n alkio!