Matematiikassa vastaesimerkkejä käytetään usein todistamaan mahdollisten lauseiden rajoja. Käyttämällä vastaesimerkkejä osoittamaan, että tietyt olettamukset ovat vääriä, matemaattiset tutkijat voivat tällöin välttää umpikujaan menemistä ja oppia muokkaamaan olettamuksia niin, että ne tuottavat todistettavia teoreemoja. Joskus sanotaan, että matemaattinen kehitys koostuu ensisijaisesti teoreemojen ja vastaesimerkkien löytämisestä (ja todistamisesta).
Esimerkki suorakulmiostaMuokkaa
Esitettäköön, että matemaatikko tutkii geometriaa ja muotoja, ja hän haluaa todistaa tietyt niitä koskevat teoreemat. Hän arvelee, että ”Kaikki suorakulmiot ovat neliöitä”, ja häntä kiinnostaa tietää, onko tämä väite tosi vai epätosi.
Tällöin hän voi joko yrittää todistaa väitteen totuuden käyttäen deduktiivista päättelyä, tai hän voi yrittää löytää vastaesimerkin väitteelle, jos hän epäilee sen olevan väärä. Jälkimmäisessä tapauksessa vastaesimerkki olisi suorakulmio, joka ei ole neliö, esimerkiksi suorakulmio, jonka kaksi sivua on pituudeltaan 5 ja kaksi sivua pituudeltaan 7. Huolimatta siitä, että hän on löytänyt suorakulmioita, jotka eivät ole neliöitä, kaikilla hänen löytämillään suorakulmioilla on kuitenkin neljä sivua. Tämän jälkeen hän esittää uuden olettamuksen: ”Kaikilla suorakulmioilla on neljä sivua”. Tämä on loogisesti heikompi kuin hänen alkuperäinen olettamuksensa, koska jokaisella neliöllä on neljä sivua, mutta kaikki nelisivuiset muodot eivät ole neliöitä.
Yllä olevassa esimerkissä selitettiin – yksinkertaistettuna – miten matemaatikko voi heikentää olettamustaan vastaesimerkkien edessä, mutta vastaesimerkkejä voidaan käyttää myös osoittamaan tiettyjen olettamusten ja hypoteesien välttämättömyyttä. Oletetaan esimerkiksi, että jonkin ajan kuluttua edellä mainittu matemaatikko päätyi uuteen olettamukseen ”Kaikki muodot, jotka ovat suorakulmioita ja joilla on neljä yhtä pitkää sivua, ovat neliöitä”. Tässä hypoteesissa on kaksi osaa: muodon on oltava ”suorakulmio” ja sillä on oltava ”neljä yhtä pitkää sivua”. Matemaatikko haluaisi siis tietää, voiko hän poistaa jommankumman oletuksen ja säilyttää silti arvelunsa totuudenmukaisuuden. Tämä tarkoittaa, että hänen on tarkistettava seuraavien kahden väitteen totuus:
- ”Kaikki muodot, jotka ovat suorakulmioita, ovat neliöitä.”
- ”Kaikki muodot, joilla on neljä yhtä pitkää sivua, ovat neliöitä.”
Kohdan (1) vastaesimerkki annettiin jo edellä, ja kohdan (2) vastaesimerkkinä on ei-neliönmuotoinen rombi. Näin ollen matemaatikko tietää nyt, että molemmat oletukset olivat todellakin välttämättömiä.
Muita matemaattisia esimerkkejäEdit
Vastaesimerkki väitteelle ”kaikki alkuluvut ovat parittomia lukuja” on luku 2, sillä se on alkuluku mutta ei ole pariton luku. Kumpikaan luvuista 7 tai 10 ei ole vastaesimerkki, koska kumpikaan niistä ei riitä kumoamaan väittämää. Tässä esimerkissä 2 on itse asiassa ainoa mahdollinen vastaesimerkki väitteelle, vaikka se yksin riittää kumoamaan väitteen. Vastaavalla tavalla väitteen ”Kaikki luonnolliset luvut ovat joko alkulukuja tai koostettuja” vastaesimerkkinä on luku 1, koska 1 ei ole alkuluku eikä koostettu.
Eulerin potenssien summan arvaus kumottiin vastaesimerkillä. Se väitti, että vähintään n n:nnen potenssin on oltava summa toisen n:nnen potenssin kanssa. Tämä arvelu kumottiin vuonna 1966 vastaesimerkillä, joka koski n = 5; nykyään tunnetaan muitakin n = 5:n vastaesimerkkejä sekä joitakin n = 4:n vastaesimerkkejä.
Witsenhausenin vastaesimerkki osoittaa, että (säätöongelmissa) ei aina pidä paikkaansa, että kvadraattinen häviöfunktio ja lineaarinen tilamuuttujan kehitysyhtälö implikoivat optimaalisia säätölakeja, jotka ovat lineaarisia.
Muita esimerkkejä ovat Seifertin olettamuksen, Pólyan olettamuksen, Hilbertin neljäntoista ongelman olettamuksen, Taitin olettamuksen ja Ganean olettamuksen kumoaminen.