Avec l’avènement du rock and roll, Norman acquiert sa première guitare à l’âge de sept ans. Ses premières influences musicales sont Elvis Presley, Little Richard et Lonnie Donegan.
Durant ces premières années, les parents de Norman déménagent beaucoup dans le pays, ce qui fait qu’il fréquente neuf écoles différentes et vit dans divers endroits d’Angleterre, comme Redcar, Luton, Kimpton et Nottingham. En 1962, cependant, la famille revient s’installer à Bradford, la ville natale de la mère de Norman. À l’approche de son douzième anniversaire, Norman entre à la St. Bede’s Grammar School, où il va rencontrer Alan Silson et Terry Uttley, futurs membres de Smokie.
A l’adolescence, influencés par la nouvelle ère de groupes tels que les Beatles et les Rolling Stones, puis le chanteur folk, Bob Dylan, Norman et Silson commencent à se rencontrer et passent presque tout leur temps libre à apprendre de nouvelles chansons sur leurs guitares. Ils parviennent à persuader Uttley de les rejoindre et, avec un ami batteur appelé Ron Kelly, ils forment leur premier groupe. The Yen, Essence, et Long Side Down ne sont que quelques-uns des nombreux noms qu’ils se sont donnés avant de se fixer sur « The Elizabethans ». Lorsque Ron Kelly a quitté le groupe en 1973, on a demandé à un vieil ami appelé Pete Spencer de prendre la relève à la batterie, et le groupe, qui allait devenir Smokie, était complet.
Entre 1974 et le début des années 1980, Smokie a connu le succès en faisant des tournées dans le monde entier, mais la tension et la pression d’être constamment loin de chez soi et de sa famille commençaient à se faire sentir chez Norman. Au début des années 1980, il décide de passer plus de temps à écrire et à travailler en studio. Norman et Spencer travaillent alors ensemble sur des chansons pour d’autres artistes, notamment des tubes pour Kevin Keegan (« Head Over Heels in Love », n°31 au Royaume-Uni), et la chanson de l’équipe de football anglaise « This Time (We’ll Get It Right) ». Il a également travaillé avec Agnetha Fältskog (sur son album solo), Racey (coauteur de « Baby It’s You »), Donovan (chœurs sur Donovan), et Heavy Metal Kids.
En 1978, Norman a enregistré un duo avec Suzi Quatro, « Stumblin’ In », qui s’est classé n°. 4 sur le US Billboard Hot 100 et s’est vendu à plus d’un million d’exemplaires.
La carrière solo de Norman a décollé en 1986 avec la chanson, « Midnight Lady », qui a été un succès dans toute l’Europe tenant la place de numéro un en Allemagne pendant six semaines (où elle s’est vendue à 900 000 exemplaires). D’autres succès ont suivi avec les chansons « Some Hearts Are Diamonds », « No Arms Can Ever Hold You », « Broken Heroes », « Fearless Hearts », « Sarah » et « Baby I Miss You ». En 1994, Norman a été honoré par CMT Europe comme leur » International Video Star of the Year « .
En 2004, il a participé au Comeback Show sur la chaîne de télévision allemande ProSieben et il a interprété » Stumblin’ In » en duo avec C. Catch. Dans le dernier épisode de l’émission, il a été rejoint par Smokie pour la dernière chanson.
Le 2 juin 2007, Norman s’est produit au Peel Bay Festival, sur l’île de Man.