En mathématiques, les contre-exemples sont souvent utilisés pour prouver les limites des théorèmes possibles. En utilisant des contre-exemples pour montrer que certaines conjectures sont fausses, les chercheurs en mathématiques peuvent alors éviter de s’engager dans des voies sans issue et apprendre à modifier les conjectures pour produire des théorèmes prouvables. On dit parfois que le développement mathématique consiste principalement à trouver (et à prouver) des théorèmes et des contre-exemples.
Exemple de rectangleEdit
Supposons qu’une mathématicienne étudie la géométrie et les formes, et qu’elle souhaite prouver certains théorèmes à leur sujet. Elle conjecture que « Tous les rectangles sont des carrés », et elle souhaite savoir si cette affirmation est vraie ou fausse.
Dans ce cas, elle peut soit tenter de prouver la vérité de l’affirmation en utilisant un raisonnement déductif, soit tenter de trouver un contre-exemple de l’affirmation si elle la soupçonne d’être fausse. Dans ce dernier cas, un contre-exemple serait un rectangle qui n’est pas un carré, comme un rectangle avec deux côtés de longueur 5 et deux côtés de longueur 7. Cependant, bien qu’elle ait trouvé des rectangles qui ne sont pas des carrés, tous les rectangles qu’elle a trouvés avaient quatre côtés. Elle émet donc une nouvelle conjecture : « Tous les rectangles ont quatre côtés ». Celle-ci est logiquement plus faible que sa conjecture initiale, puisque tout carré a quatre côtés, mais que toute forme à quatre côtés n’est pas un carré.
L’exemple ci-dessus a expliqué – de manière simplifiée – comment un mathématicien pourrait affaiblir sa conjecture face à des contre-exemples, mais les contre-exemples peuvent également être utilisés pour démontrer la nécessité de certaines hypothèses et suppositions. Par exemple, supposons qu’au bout d’un certain temps, le mathématicien ci-dessus se soit mis d’accord sur la nouvelle conjecture « Toutes les formes qui sont des rectangles et qui ont quatre côtés de même longueur sont des carrés ». L’hypothèse de cette conjecture comporte deux parties : la forme doit être « un rectangle » et doit avoir « quatre côtés de même longueur ». La mathématicienne aimerait alors savoir si elle peut supprimer l’une ou l’autre hypothèse tout en maintenant la véracité de sa conjecture. Cela signifie qu’elle doit vérifier la vérité des deux affirmations suivantes :
- « Toutes les formes qui sont des rectangles sont des carrés. »
- « Toutes les formes qui ont quatre côtés de longueur égale sont des carrés ».
Un contre-exemple à (1) a déjà été donné ci-dessus, et un contre-exemple à (2) est un rhombe non carré. Ainsi, le mathématicien sait maintenant que les deux hypothèses étaient effectivement nécessaires.
Autres exemples mathématiquesModifier
Un contre-exemple à l’affirmation « tous les nombres premiers sont des nombres impairs » est le nombre 2, car il est un nombre premier mais n’est pas un nombre impair. Aucun des nombres 7 ou 10 n’est un contre-exemple, car aucun d’entre eux n’est suffisant pour contredire l’affirmation. Dans cet exemple, 2 est en fait le seul contre-exemple possible à l’affirmation, même si cela suffit à contredire l’affirmation. De manière similaire, l’affirmation « Tous les nombres naturels sont soit premiers, soit composés » a le nombre 1 comme contre-exemple, car 1 n’est ni premier ni composé.
La conjecture de la somme des puissances d’Euler a été réfutée par contre-exemple. Elle affirmait qu’il fallait au moins n nièmes puissances pour que la somme soit égale à une autre nième puissance. Cette conjecture a été réfutée en 1966, par un contre-exemple portant sur n = 5 ; d’autres contre-exemples de n = 5 sont maintenant connus, ainsi que quelques contre-exemples de n = 4.
Le contre-exemple de Witsenhausen montre qu’il n’est pas toujours vrai (pour les problèmes de contrôle) qu’une fonction de perte quadratique et une équation d’évolution linéaire de la variable d’état impliquent des lois de contrôle optimales qui sont linéaires.
D’autres exemples incluent les réfutations de la conjecture de Seifert, de la conjecture de Pólya, de la conjecture du quatorzième problème de Hilbert, de la conjecture de Tait et de la conjecture de Ganea.