Bien que Descartes et Fermat aient tous deux suggéré d’utiliser trois coordonnées pour étudier les courbes et les surfaces dans l’espace, la géométrie analytique tridimensionnelle s’est développée lentement jusqu’en 1730 environ, lorsque les mathématiciens suisses Leonhard Euler et Jakob Hermann et le mathématicien français Alexis Clairaut ont produit des équations générales pour les cylindres, les cônes et les surfaces de révolution. Par exemple, Euler et Hermann ont montré que l’équation f(z) = x2 + y2 donne la surface qui est produite en faisant tourner la courbe f(z) = x2 autour de l’axe z (voir la figure, qui montre le paraboloïde elliptique z = x2 + y2).
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Newton a fait la remarquable affirmation que tous les cubiques plans découlent de ceux de sa troisième forme standard par projection entre plans. Ceci a été prouvé indépendamment en 1731 par Clairaut et le mathématicien français François Nicole. Clairaut a obtenu toutes les cubiques des quatre formes standard de Newton comme sections de la conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 constituée des lignes de l’espace qui joignent l’origine (0, 0, 0) aux points de la troisième cubique standard dans le plan z = 1.
En 1748, Euler a utilisé des équations pour les rotations et les translations dans l’espace pour transformer la surface quadrique généraleax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 de sorte que ses axes principaux coïncident avec les axes de coordonnées. Euler et les mathématiciens français Joseph-Louis Lagrange et Gaspard Monge ont rendu la géométrie analytique indépendante de la géométrie synthétique (non analytique).
Analyse vectorielle
Dans un espace euclidien de dimension quelconque, les vecteurs – segments de droite dirigés – peuvent être spécifiés par des coordonnées. Un n-tuple (a1, …, an) représente le vecteur dans l’espace à n dimensions qui se projette sur les nombres réels a1, …, an sur les axes de coordonnées.
En 1843, le mathématicien-astronome irlandais William Rowan Hamilton a représenté des vecteurs à quatre dimensions de manière algébrique et a inventé les quaternions, la première algèbre non commutative à être étudiée de manière approfondie. La multiplication des quaternions par un zéro de coordonnées a conduit Hamilton à découvrir les opérations fondamentales sur les vecteurs. Néanmoins, les physiciens mathématiciens ont trouvé la notation utilisée en analyse vectorielle plus flexible – en particulier, elle est facilement extensible aux espaces à dimension infinie. Les quaternions sont restés d’intérêt algébrique et ont été incorporés dans les années 1960 dans certains nouveaux modèles de physique des particules.
Projections
La puissance de calcul facilement disponible ayant augmenté de façon exponentielle dans les dernières décennies du XXe siècle, l’animation par ordinateur et la conception assistée par ordinateur sont devenues omniprésentes. Ces applications sont basées sur la géométrie analytique tridimensionnelle. Les coordonnées sont utilisées pour déterminer les bords ou les courbes paramétriques qui forment les limites des surfaces des objets virtuels. L’analyse vectorielle est utilisée pour modéliser l’éclairage et déterminer les ombres réalistes des surfaces.
Dès 1850, Julius Plücker avait réuni la géométrie analytique et la géométrie projective en introduisant des coordonnées homogènes qui représentent les points dans le plan euclidien (voir géométrie euclidienne) et à l’infini de manière uniforme sous forme de triples. Les transformations projectives, qui sont des modifications linéaires inversibles des coordonnées homogènes, sont données par une multiplication matricielle. Elles permettent aux programmes d’infographie de modifier efficacement la forme ou la vue des objets représentés et de les projeter de l’espace virtuel tridimensionnel vers l’écran de visualisation bidimensionnel.
Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza.