Propriétés des ensembles sous une opération
Les mathématiciens s’intéressent souvent à savoir si certains ensembles ont ou non des propriétés particulières sous une opération donnée. L’une des raisons pour lesquelles les mathématiciens s’y intéressaient était qu’ils pouvaient déterminer quand les équations auraient des solutions. Si un ensemble sous une opération donnée a certaines propriétés générales, alors nous pouvons résoudre des équations linéaires dans cet ensemble, par exemple.
Il existe plusieurs propriétés importantes qu’un ensemble peut ou non satisfaire sous une opération particulière. Une propriété est une certaine règle qui tient si elle est vraie pour tous les éléments d’un ensemble sous l’opération donnée et une propriété ne tient pas s’il y a au moins une paire d’éléments qui ne suivent pas la propriété sous l’opération donnée.
Parler des propriétés de cette manière abstraite n’a pas encore vraiment de sens, alors regardons quelques exemples de propriétés pour que vous puissiez mieux comprendre ce qu’elles sont. Dans cette conférence, nous allons apprendre la propriété de fermeture.
La propriété de fermeture
Un ensemble a la propriété de fermeture sous une opération particulière si le résultat de l’opération est toujours un élément de l’ensemble. Si un ensemble a la propriété de fermeture sous une opération particulière, on dit que l’ensemble est « fermé sous l’opération. »
Il est beaucoup plus facile de comprendre une propriété en regardant des exemples que de simplement en parler de façon abstraite, alors passons à l’examen d’exemples pour que vous puissiez voir exactement de quoi nous parlons quand nous disons qu’un ensemble a la propriété de fermeture :
D’abord, regardons quelques ensembles infinis avec des opérations qui nous sont déjà familières:
a) L’ensemble des entiers est fermé sous l’opération d’addition parce que la somme de deux entiers quelconques est toujours un autre entier et est donc dans l’ensemble des entiers.
b) L’ensemble des nombres entiers n’est pas fermé sous l’opération de division car lorsqu’on divise un nombre entier par un autre, on n’obtient pas toujours un autre nombre entier comme réponse. Par exemple, 4 et 9 sont tous deux des nombres entiers, mais 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 n’est pas un entier, donc il n’est pas dans l’ensemble des entiers !
pour voir plus d’exemples d’ensembles infinis qui satisfont et ne satisfont pas la propriété de fermeture.
c) L’ensemble des nombres rationnels est fermé sous l’opération de multiplication, car le produit de deux nombres rationnels quelconques sera toujours un autre nombre rationnel, et sera donc dans l’ensemble des nombres rationnels. Ceci est dû au fait que la multiplication de deux fractions donnera toujours une autre fraction comme résultat, puisque le produit de deux fractions a/b et c/d, vous donnera ac/bd comme résultat. La seule possibilité pour que ac/bd ne soit pas une fraction est que bd soit égal à 0. Mais si a/b et c/d sont tous deux des fractions, cela signifie que ni b ni d ne sont égaux à 0, donc bd ne peut pas être égal à 0.
d) L’ensemble des nombres naturels n’est pas fermé sous l’opération de soustraction car lorsqu’on soustrait un nombre naturel à un autre, on n’obtient pas toujours un autre nombre naturel. Par exemple, 5 et 16 sont tous deux des nombres naturels, mais 5 – 16 = – 11. – 11 n’est pas un nombre naturel, donc il n’est pas dans l’ensemble des nombres naturels!
Regardons maintenant quelques exemples d’ensembles finis avec des opérations qui peuvent ne pas nous être familières:
e) L’ensemble {1,2,3,4} n’est pas fermé sous l’opération d’addition car 2 + 3 = 5, et 5 n’est pas un élément de l’ensemble {1,2,3,4}.
On peut le constater aussi en regardant le tableau d’opération de l’ensemble {1,2,3,4} sous l’opération d’addition :
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+ |
||||
L’ensemble{1,2,3,4} n’est pas fermé sous l’opération + car il existe au moins un résultat (tous les résultats sont grisés en orange) qui n’est pas un élément de l’ensemble {1,2,3,4}. Le tableau contient les résultats 5, 6, 7 et 8, dont aucun n’est un élément de l’ensemble {1,2,3,4} !
f) L’ensemble {a,b,c,d,e} a le tableau suivant pour l’opération * :
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* |
a |
b |
c |
d |
e |
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a |
b |
c |
e |
a |
d |
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b |
d |
a |
c |
b |
e |
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c |
c |
d |
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e |
a |
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d |
a |
e |
d |
c |
b |
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e |
e |
b |
a |
d |
c |
L’ensemble{a,b,c,d,e} est fermé sous l’opération * car tous les résultats (qui sont grisés en orange) sont des éléments de l’ensemble {a,b,c,d,e}.
pour voir un autre exemple.
g) L’ensemble {a,b,c,d,e} a le tableau d’opérations suivant pour l’opération $ :
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a |
b |
c |
d |
e |
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a |
b |
f |
e |
a |
h |
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b |
d |
a |
c |
h |
e |
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c |
c |
d |
b |
g |
a |
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d |
g |
e |
d |
c |
b |
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e |
e |
b |
h |
d |
c |
L’ensemble{a,b,c,d,e} n’est pas fermé sous l’opération $ car il existe au moins un résultat (tous les résultats sont grisés en orange) qui n’est pas un élément de l’ensemble {a,b,c,d,e}. Par exemple, d’après le tableau, a$b=f. Mais f n’est pas un élément de {a,b,c,d,e}!