Paradoxe du littoral

Cette section nécessite des citations supplémentaires pour être vérifiée. Veuillez aider à améliorer cet article en ajoutant des citations à des sources fiables. Le matériel non sourcé peut être contesté et supprimé. (Février 2015) (Learn how and when to remove this template message)

Le concept de base de la longueur trouve son origine dans la distance euclidienne. En géométrie euclidienne, une ligne droite représente la plus courte distance entre deux points. Cette ligne n’a qu’une seule longueur. À la surface d’une sphère, celle-ci est remplacée par la longueur géodésique (également appelée longueur du grand cercle), qui est mesurée le long de la courbe de surface qui existe dans le plan contenant les deux points d’extrémité et le centre de la sphère. La longueur des courbes de base est plus compliquée mais peut également être calculée. En mesurant avec des règles, on peut approximer la longueur d’une courbe en ajoutant la somme des lignes droites qui relient les points :

L’utilisation de quelques lignes droites pour approximer la longueur d’une courbe produira une estimation inférieure à la longueur réelle ; lorsque des lignes de plus en plus courtes (et donc plus nombreuses) sont utilisées, la somme s’approche de la longueur réelle de la courbe. Une valeur précise de cette longueur peut être trouvée en utilisant le calcul, la branche des mathématiques permettant de calculer des distances infinitésimales. L’animation suivante illustre comment une courbe lisse peut se voir attribuer de manière significative une longueur précise :

Cependant, toutes les courbes ne peuvent pas être mesurées de cette manière. Une fractale est, par définition, une courbe dont la complexité change avec l’échelle de mesure. Alors que les approximations d’une courbe lisse tendent vers une valeur unique lorsque la précision de la mesure augmente, la valeur mesurée pour une fractale ne converge pas.

Cette courbe de Sierpiński (un type de courbe de remplissage de l’espace), qui répète le même motif à une échelle de plus en plus petite, continue à augmenter en longueur. Si l’on considère qu’elle itère dans un espace géométrique infiniment subdivisible, sa longueur tend vers l’infini. En même temps, l’aire délimitée par la courbe converge bien vers un chiffre précis – tout comme, par analogie, la masse terrestre d’une île peut être calculée plus facilement que la longueur de son littoral.

Comme la longueur d’une courbe fractale diverge toujours vers l’infini, si l’on devait mesurer un littoral avec une résolution infinie ou quasi infinie, la longueur des coudes infiniment courts du littoral s’additionnerait à l’infini. Toutefois, cette figure repose sur l’hypothèse que l’espace peut être subdivisé en sections infinitésimales. La valeur réelle de cette hypothèse – qui sous-tend la géométrie euclidienne et sert de modèle utile pour les mesures quotidiennes – est une question de spéculation philosophique et peut ou non refléter les réalités changeantes de l' »espace » et de la « distance » au niveau atomique (approximativement à l’échelle du nanomètre). Par exemple, la longueur de Planck, de nombreux ordres de grandeur plus petits qu’un atome, est proposée comme la plus petite unité mesurable possible dans l’univers.

Les lignes de côte sont moins définies dans leur construction que les fractales idéalisées telles que l’ensemble de Mandelbrot parce qu’elles sont formées par divers événements naturels qui créent des motifs de manière statistiquement aléatoire, alors que les fractales idéalisées sont formées par des itérations répétées de séquences simples et formulées.

Laisser un commentaire