La théorie des matrices aléatoires part de l’hypothèse que le comportement à grande échelle d’un système complexe devrait être régi par ses symétries et les propriétés statistiques de ses paramètres, et être relativement insensible aux détails précis de chaque élément en interaction. La théorie vise principalement à déterminer les statistiques des valeurs propres et des vecteurs propres des matrices aléatoires dans la limite des grandes dimensions. Les premiers travaux, issus de la physique nucléaire, se sont concentrés sur des ensembles présentant à la fois une symétrie hermitienne et des interactions de type « tout le monde », similaires aux modèles de champ moyen de la physique statistique. Le relâchement de l’hypothèse du tout-à-tout introduit un désordre topologique et conduit à des ensembles de matrices aléatoires éparses avec de nombreuses entrées de matrice nulles. De telles matrices modélisent des systèmes complexes où un degré de liberté donné interagit avec un nombre fini d’autres, et apparaissent naturellement en relation avec des systèmes tels que les réseaux neuronaux ou les écosystèmes.
Malgré cette large importance, cependant, les matrices aléatoires non hermitiennes éparses n’ont fait l’objet d’une étude significative qu’au cours de la dernière décennie, car les méthodes d’analyse standard de la théorie des matrices aléatoires ne s’appliquent pas. Les résultats rigoureux pour de telles matrices sont presque inexistants car il est très difficile de prouver la convergence des propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres vers une limite déterministe pour les matrices de grande taille. Cependant, des recherches récentes ont permis de progresser avec de nouvelles approches. Dans un nouvel article, Fernando Metz, membre du LML, ainsi que Izaak Neri du King’s College London et Tim Rogers de l’Université de Bath, passent en revue les progrès théoriques dans l’étude des spectres des matrices aléatoires non hermitiennes éparses, en se concentrant sur les approches exactes basées sur une analogie fructueuse entre les calculs de matrices aléatoires et la mécanique statistique des systèmes de spin désordonnés. Comme ils le montrent, pour des modèles simples, ces méthodes donnent accès à des résultats analytiques pour les propriétés spectrales des matrices aléatoires non hermitiennes éparses. Pour des modèles plus compliqués, les propriétés spectrales peuvent également être calculées dans la limite des grandes dimensions à l’aide d’algorithmes numériques.
Metz et ses collègues terminent leur revue en notant que la théorie des matrices aléatoires non hermitiennes éparses n’en est encore qu’à ses débuts, par rapport à la théorie classique des matrices aléatoires, et que de nombreuses questions restent en suspens. Parmi celles-ci figure la question de l’universalité. L’intérêt pour la théorie des matrices aléatoires dépend en grande partie du comportement universel de nombreuses observables spectrales, qui permet d’étudier la stabilité de systèmes dynamiques complexes. Dans le cas des matrices aléatoires éparses, cette possibilité semble perdue en raison des fortes fluctuations locales de la structure du graphe. Cependant, il s’avère que de nombreux ensembles de matrices aléatoires non hermitiennes éparses présentent certaines propriétés universelles, telles que l’écart spectral, la valeur propre ayant la plus grande partie réelle et les moments des vecteurs propres correspondant à cette valeur propre. Ces propriétés spectrales déterminent la stabilité et la dynamique de l’état d’équilibre des systèmes complexes. Par conséquent, il semble qu’il y ait un espoir de trouver un comportement universel pour les matrices éparses, si l’on regarde les bonnes observables, ce qui pourrait conduire à une meilleure compréhension de l’universalité dans les grands systèmes dynamiques.
Une préimpression de l’article est disponible à https://arxiv.org/abs/1811.10416
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