A halmazok tulajdonságai egy művelet alatt
A matematikusokat gyakran érdekli, hogy bizonyos halmazok rendelkeznek-e bizonyos tulajdonságokkal egy adott művelet alatt. A matematikusok többek között azért érdeklődtek ez iránt, hogy meg tudják határozni, hogy az egyenleteknek mikor van megoldása. Ha egy halmaz egy adott művelet alatt bizonyos általános tulajdonságokkal rendelkezik, akkor például lineáris egyenleteket tudunk megoldani ebben a halmazban.
Egy halmaz egy adott művelet alatt több fontos tulajdonságnak is megfelelhet, vagy nem felelhet meg. Egy tulajdonság egy bizonyos szabály, amely akkor érvényes, ha egy halmaz minden elemére igaz az adott művelet alatt, és egy tulajdonság akkor nem érvényes, ha van legalább egy olyan elempár, amely nem követi a tulajdonságot az adott művelet alatt.
A tulajdonságokról ilyen absztrakt módon beszélni még nem igazán van értelme, ezért nézzünk néhány példát a tulajdonságokra, hogy jobban megértsük, mik azok. Ebben az előadásban a zártsági tulajdonságot fogjuk megismerni.
A zártsági tulajdonság
Egy halmaz akkor rendelkezik zártsági tulajdonsággal egy adott művelet alatt, ha a művelet eredménye mindig a halmaz egyik eleme. Ha egy halmaz egy adott művelet alatt rendelkezik a zártsági tulajdonsággal, akkor azt mondjuk, hogy a halmaz “a művelet alatt zárt”.
Sokkal könnyebb megérteni egy tulajdonságot, ha példákat nézünk, mint ha egyszerűen csak elvontan beszélünk róla, ezért térjünk át a példák nézegetésére, hogy pontosan lássuk, miről beszélünk, amikor azt mondjuk, hogy egy halmaznak zárt tulajdonsága van:
Először nézzünk meg néhány végtelen halmazt olyan műveletekkel, amelyeket már ismerünk:
a) Az egész számok halmaza zárt az összeadás művelete alatt, mert bármely két egész szám összege mindig egy másik egész szám, tehát az egész számok halmazában van.
b) Az osztás művelete alatt az egész számok halmaza nem zárt, mert ha egy egész számot elosztunk egy másikkal, akkor nem mindig egy másik egész számot kapunk válaszként. Például a 4 és a 9 is egész szám, de 4 ÷ 9 = 4/9. A 4/9 nem egész szám, tehát nincs benne az egész számok halmazában!
további példákat láthatunk a végtelen halmazokra, amelyek teljesítik és nem teljesítik a zártsági tulajdonságot.
c) A racionális számok halmaza zárt a szorzás művelete alatt, mert bármely két racionális szám szorzata mindig egy másik racionális szám lesz, és ezért benne lesz a racionális számok halmazában. Ez azért van így, mert két tört szorzása mindig egy másik törtet ad eredményként, hiszen két tört a/b és c/d szorzata ac/bd eredményt ad. Az egyetlen lehetséges módja annak, hogy ac/bd ne legyen tört, az, ha bd egyenlő 0-val. De ha a/b és c/d is tört, akkor ez azt jelenti, hogy sem b, sem d nem 0, tehát bd nem lehet 0.
d) A természetes számok halmaza nem zárt a kivonás művelete alatt, mert amikor egy természetes számot kivonunk egy másikból, nem mindig kapunk egy másik természetes számot. Például az 5 és a 16 is természetes szám, de 5 – 16 = – 11. – A 11 nem természetes szám, tehát nincs benne a természetes számok halmazában!
Most nézzünk néhány példát véges halmazokra, amelyek műveletei nem feltétlenül ismerősek számunkra:
e) A {1,2,3,4} halmaz nem zárt az összeadás művelete alatt, mert 2 + 3 = 5, és 5 nem eleme a {1,2,3,4} halmaznak.
Ezt úgy is láthatjuk, ha megnézzük a {1,2,3,4} halmaz művelettáblázatát az összeadás művelete alatt:
|
+ |
||||
A halmaz{1,2,3,4} nem zárt a + művelet alatt, mert van legalább egy olyan eredmény (az összes eredmény narancssárgával van árnyékolva), amely nem eleme a {1,2,3,4} halmaznak. A táblázat tartalmazza az 5, 6, 7 és 8 eredményt, amelyek közül egyik sem eleme a {1,2,3,4} halmaznak!
f) A {a,b,c,d,e} halmaznak a * műveletre a következő műveleti táblázata van:
|
* |
a |
b |
c |
d |
e |
||
|
a |
b |
c |
e |
a |
d |
||
|
b |
d |
a |
c |
b |
e |
||
|
c |
c |
d |
b |
e |
a |
||
|
d |
a |
e |
d |
d |
c |
b |
|
|
e |
e |
e |
e |
b |
a |
d |
c |
A halmaz{a,b,c,d,e} zárt a * művelet alatt, mert az összes eredmény (amelyek narancssárgával vannak árnyékolva) a {a,b,c,d,e} halmaz elemei.
még egy példát láthatunk.
g) A {a,b,c,d,e} halmazra a $ műveletre a következő műveleti táblázat vonatkozik:
|
a |
b |
c |
d |
e |
||
|
a |
b |
f |
e |
a |
h |
|
|
b |
d |
a |
c |
h |
e |
|
|
c |
c |
d |
b |
g |
a |
|
|
d |
g |
e |
d |
d |
c |
b |
|
e |
e |
b |
h |
d |
c |
A halmaz{a,b,c,d,e} nem zárt a $ művelet alatt, mert van legalább egy olyan eredmény (az összes eredmény narancssárgával van árnyékolva), amely nem eleme a {a,b,c,d,e} halmaznak. Például az ábra szerint a$b=f. De f nem eleme az {a,b,c,d,e} halmaznak!