Banach-tér

Lineáris operátorok, izomorfizmusokSzerkesztés

Ha X és Y normált terek ugyanazon K alapterületen, akkor a T : X → Y folytonos K lineáris leképezések halmazát B(X, Y) jelöli. Végtelen dimenziós terekben nem minden lineáris térkép folytonos. Egy lineáris leképezés egy X normált térből egy másik normált térbe akkor és csak akkor folytonos, ha X zárt egységgömbjén korlátos. Így a B(X, Y) vektortérnek megadható a norm

‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ≤ 1 } operátor. {\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.

Y egy Banach-tér, a B(X, Y) tér egy Banach-tér e norma tekintetében.

Ha X egy Banach-tér, akkor a B(X) = B(X, X) tér egy unitális Banach-algebrát alkot; a szorzási műveletet lineáris leképezések kompozíciója adja.

Ha X és Y normált terek, akkor izomorf normált terek, ha létezik olyan T : X → Y lineáris bijekció, hogy T és annak inverze T -1 folytonos. Ha a két X vagy Y tér közül az egyik teljes (vagy reflexív, szeparálható stb.), akkor a másik tér is az. Két normált X és Y tér izometrikusan izomorf, ha ráadásul T izometria, azaz, ||T(x)|| = ||x||| minden x-re X-ben. A Banach-Mazur távolság d(X, Y) két izomorf, de nem izometrikus X és Y tér között megadja, hogy a két X és Y tér mennyire különbözik egymástól.

AlapfogalmakSzerkesztés

Két normált tér X × Y kartéziánus szorzata nem rendelkezik kanonikusan normával. Azonban több egyenértékű normát is szoktak használni, például

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}

és izomorf normált tereket eredményez. Ebben az értelemben az X × Y szorzat (vagy az X ⊕ Y egyenes összeg) akkor és csak akkor teljes, ha a két tényező teljes.

Ha M egy X normált tér zárt lineáris altér, akkor van egy természetes norma az X / M quotiens téren,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}

Az X / M hányados egy Banach-tér, ha X teljes. Az X-ből X / M-re az X-ben lévő x-et az x + M osztályába küldő quotiens leképezés lineáris, onto és 1-es normájú, kivéve, ha M = X, amely esetben a quotiens a null-tér.

Az X zárt lineáris M altérét X komplementer altérének mondjuk, ha M az X-ből M-re való P korlátos lineáris vetület tartománya. Ebben az esetben az X tér izomorf M és Ker(P) egyenes összegével, a P projekció kernelével.

Tegyük fel, hogy X és Y Banach-tér és T ∈ B(X, Y). Létezik a T kanonikus faktorizációja a

T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}}\ X/\operatorname {Ker} (T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}\ Y}

ahol az első térkép π a hányados térkép, és a második térkép T1 minden x + Ker(T) osztályt a hányadosban a T(x) képére küld Y-ban. Ez jól definiált, mert minden azonos osztályba tartozó elemnek ugyanaz a képe. A T1 leképezés egy lineáris bijekció X / Ker(T) tartományból a T(X) tartományra, amelynek inverze nem kell, hogy korlátos legyen.

Klasszikus terekSzerkesztés

A Banach-terek alapvető példái a következők: az Lp terek és speciális eseteik, az N indexű skaláris sorozatokból álló ℓp sorozatterek; ezek közül az abszolút összegezhető sorozatok ℓ1 tere és a négyzetösszegezhető sorozatok ℓ2 tere; a nullára tendáló sorozatok c0 terét és a korlátos sorozatok ℓ∞ terét; a folytonos skalárfüggvények C(K) terét K kompakt Hausdorff-téren, a max normával,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . {\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}

A Banach-Mazur-tétel szerint minden Banach-tér izometrikusan izomorf egy bizonyos C(K) altérrel. Minden szeparálható X Banach-térhez ℓ1 olyan zárt M altér tartozik, hogy X ≅ ℓ1/M.

Minden Hilbert-tér egy Banach-tér példájaként szolgál. Egy H Hilbert-tér K = R, C-n teljes a

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }}},}

hol

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K} }

az első argumentumában lineáris belső szorzat, amely kielégíti a következőket:

∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\forall x,y\in H:\quad \langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\\\\forall x\in H:\quad \langle x,x\rangle &\geq 0,\\\\\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x&=0.\end{aligned}}}}

Az L2 tér például Hilbert-tér.

A Hardy terek, a Sobolev terek olyan példák a Banach terekre, amelyek az Lp terekkel rokonok és további struktúrával rendelkeznek. Fontosak többek között az analízis különböző ágaiban, a harmonikus analízisben és a parciális differenciálegyenletekben.

Banach-algebrákSzerkesztés

A Banach-algebra egy olyan K = R vagy C feletti A Banach-tér, a K feletti algebra szerkezetével együtt, hogy az A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A termékleképezés folytonos. Található egy ekvivalens norma A-ra úgy, hogy ||ab|| ≤ ||a||| ||b||| minden a, b ∈ A-ra.

PéldákSzerkesztés

• A C(K) Banach-tér a pontszerű szorzatával egy Banach-algebra.
• A D(D) lemezalgebra a D ⊂ C nyitott egységkorongban holomorf és a záródásán folytonos függvényekből áll: D. A D-n a max normával ellátva az A(D) lemezalgebra a C(D) zárt alalgebrája.
• A Wiener-algebra A(T) a T egységkörön abszolút konvergens Fourier-sorral rendelkező függvények algebrája. A T-n egy függvényt a Fourier-koefficiensek sorozatához társító leképezésen keresztül ez az algebra izomorf a ℓ1(Z) Banach-algebrával, ahol a szorzat a sorozatok konvolúciója.
• Minden X Banach-tér esetében az X-en lévő korlátos lineáris operátorok B(X) tere, ahol a térképek kompozíciója a termék, egy Banach-algebra.
• A C*-algebra az A komplex Banach-algebra egy olyan a ↦ a∗ antilineáris involúcióval, hogy ||a∗a||= ||a||2. A H Hilbert-téren lévő korlátos lineáris operátorok B(H) tere a C*-algebra egyik alapvető példája. A Gelfand-Naimark-tétel szerint minden C*-algebra izometrikusan izomorf egy bizonyos B(H) C*-algebrával. A komplex folytonos függvények C(K) tere egy K kompakt Hausdorff-téren a kommutatív C*-algebra egyik példája, ahol az involúció minden f függvényhez hozzárendeli annak komplex konjugáltját f .

Kettős térSzerkesztés

Ha X egy normált tér és K a mögöttes mező (akár a valós, akár a komplex számok), akkor a folytonos duális tér az X-ből K-be való folytonos lineáris leképezések, vagy folytonos lineáris függvények tere. A folytonos duális tér jelölése ebben a cikkben X ′ = B(X, K). Mivel K egy Banach-tér (az abszolút értéket normaként használva), az X ′ duál is egy Banach-tér, minden X normált térre.

A folytonos lineáris függvények létezésének bizonyításának fő eszköze a Hahn-Banach-tétel.

Hahn-Banach-tétel. Legyen X egy vektortér a K = R, C mező felett. Legyen továbbá

• Y ⊆ X egy lineáris altér,
• p : X → R legyen egy szublineáris függvény és
• f : Y → K legyen egy lineáris függvény úgy, hogy Re( f (y)) ≤ p(y) minden y-ra Y-ban.

Akkor létezik egy F : X → K lineáris függvény úgy, hogy F | Y = f , és ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) . {\displaystyle F|_{Y}=f,\quad {\text{és}}\quad \forall x\in X,\ \ \ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}

Egy normált tér egy részterén minden folytonos lineáris függvény folyamatosan kiterjeszthető a teljes térre anélkül, hogy a függvény normája növekedne. Egy fontos speciális eset a következő: egy X normált térben minden x vektorra létezik egy olyan f folytonos lineáris függvény X-en, hogy

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X’}\leq 1.}

Ha x nem egyenlő a 0 vektorral, akkor az f függvénynek egyes normájúnak kell lennie, és az x normáló függvénynek nevezzük.

A Hahn-Banach elválasztási tétel kimondja, hogy egy valós Banach-térben két diszjunkt, nem üres konvex halmaz, amelyek közül az egyik nyitott, zárt affin hipersíkkal elválasztható. A nyitott konvex halmaz szigorúan a hipersík egyik oldalán fekszik, a másik konvex halmaz a másik oldalon fekszik, de érintheti a hipersíkot.

Egy X Banach-tér S részhalmaza totális, ha S lineáris tartománya sűrű X-ben. Az S részhalmaz akkor és csak akkor totális X-ben, ha az egyetlen folytonos lineáris függvény, amely eltűnik S-en, a 0 függvény: ez az ekvivalencia a Hahn-Banach-tételből következik.

Ha X két zárt M és N lineáris részhalmaz közvetlen összege, akkor X ′ duálisa izomorf az M és N duálisainak közvetlen összegével. Ha M egy zárt lineáris X altér, akkor M ortogonálisát a duálban

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } ortogonálisához rendelhetjük. . {\displaystyle M^{\perp }=\left\{x’\ in X’:x'(m)=0,\ \ \forall m\in M\right\}.}.

Az ortogonális M ⊥ a duál zárt lineáris altér. M duálisa izometrikusan izomorf X ′ / M ⊥-val. X / M duálisa izometrikusan izomorf M ⊥-val.

Egy szeparálható Banach-tér duálisának nem kell szeparálhatónak lennie, hanem:

Tétel. Legyen X egy normált tér. Ha X ′ szeparálható, akkor X szeparálható.

Ha X ′ szeparálható, akkor a fenti totalitáskritériummal bizonyítható egy megszámlálható totális részhalmaz létezése X-ben.

Gyenge topológiákSzerkesztés

A gyenge topológia egy X Banach-téren az a legdurvább topológia X-en, amelyre az X ′ folytonos duális tér minden x ′ eleme folytonos. A normtopológia tehát finomabb, mint a gyenge topológia. A Hahn-Banach elválasztási tételből következik, hogy a gyenge topológia Hausdorff, és hogy egy Banach-tér normával zárt konvex részhalmaza szintén gyengén zárt. Két X és Y Banach-tér közötti normafolytonos lineáris leképezés szintén gyengén folytonos, azaz folytonos X gyenge topológiájából Y gyenge topológiájába.

Ha X végtelen dimenziós, akkor léteznek olyan lineáris leképezések, amelyek nem folytonosak. Az X-ből X-re a mögöttes K mezőre vonatkozó összes lineáris leképezés X∗ tere (ezt az X∗ teret algebrai duális térnek nevezzük, hogy megkülönböztessük az X ′-től) szintén egy olyan topológiát indukál X-en, amely finomabb, mint a gyenge topológia, és sokkal kevésbé használatos a funkcionálanalízisben.

A X ′ duális téren létezik egy, az X ′ gyenge topológiájánál gyengébb topológia, amelyet gyenge* topológiának nevezünk. Ez a legdurvább topológia X ′-n, amelyre minden x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X értékadó leképezés folytonos. Jelentősége a Banach-Alaoglu-tételből ered.

Banach-Alaoglu-tétel. Legyen X egy normált vektortér. Ekkor a zárt egységgömb B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′|| ≤ 1} a duális térben kompakt a gyenge* topológiában.

A Banach-Alaoglu-tétel Tychonoff tételétől függ a kompakt terek végtelen szorzatáról. Ha X szeparálható, akkor a duál B ′ egységgömbje a gyenge* topológiában metrizálható kompakt.

Példák duális terekreSzerkesztés

A c0 duálisa izometrikusan izomorf a ℓ1-gyel: minden korlátos lineáris f függvényre a c0-n van egy olyan y = {yn} ∈ ℓ1 egyedi elem, hogy

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , és ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{és}}\ \ \ \ \|f\|_{(c_{0})’}=\|y\|_{\ell _{1}}}.}

A ℓ1 duálisa izometrikusan izomorf a ℓ∞-vel. Az Lp() duálisa izometrikusan izomorf az Lq()-vel, ha 1 ≤ p < ∞ és 1/p + 1/q = 1.

Egy H Hilbert-térben minden y vektorra a leképezés

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }

meghatároz egy fy folytonos lineáris függvényt H-n. A Riesz-tétel szerint minden folytonos lineáris függvény H-n fy alakú egy egyértelműen meghatározott y vektorra H-n. Az y ∈ H → fy leképezés egy antilineáris izometrikus bijekció H-ból a H ′ duáljára. Ha a skalárok valósak, akkor ez a leképezés izometrikus izomorfizmus.

Ha K egy kompakt Hausdorff topológiai tér, akkor a C(K) M(K) duálisa a Bourbaki értelemben vett Radon-mértékek tere. M(K) P(K) részhalmaza, amely 1 tömegű nemnegatív mértékekből (valószínűségi mértékekből) áll, M(K) egységgömbjének konvex w*-zárt részhalmaza. P(K) szélső pontjai a K-n lévő Dirac-értékek. A K-n lévő Dirac-értékek halmaza a w*-topológiával ellátva homeomorf K-val.

Banach-kő-tétel. Ha K és L kompakt Hausdorff-tér, és ha C(K) és C(L) izometrikusan izomorf, akkor a K és L topológiai terek homeomorfok.

Az eredményt Amir és Cambern kiterjesztette arra az esetre, ha a C(K) és C(L) közötti multiplikatív Banach-Mazur távolság < 2. A tétel már nem igaz, ha a távolság = 2.

A C(K) kommutatív Banach-algebrában a maximális ideálok pontosan a K-ra vonatkozó Dirac-mérések magjai,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . {\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}

Még általánosabban, a Gelfand-Mazur-tétel alapján egy unitális kommutatív Banach-algebra maximális ideáljai azonosíthatók a karaktereivel – nem pusztán halmazokként, hanem topológiai terekként: az előbbiek a hull-kernel topológiával, az utóbbiak a w*-topológiával. Ebben az azonosításban a maximális ideáltér a duális A ′ egységgömb w*-kompakt részhalmazának tekinthető.

Tétel. Ha K egy kompakt Hausdorff-tér, akkor a C(K) Banach-algebra Ξ maximális ideáltere homeomorf K-re.

Nem minden unitális kommutatív Banach-algebra C(K) alakú valamilyen kompakt Hausdorff-térre K. Ez az állítás azonban érvényes, ha a C(K)-t a kommutatív C*-algebrák kisebb kategóriájába helyezzük. Gelfand kommutatív C*-algebrákra vonatkozó reprezentációs tétele kimondja, hogy minden A kommutatív unitális C*-algebra izometrikusan izomorf egy C(K) térrel. A Hausdorff-féle K kompakt tér itt is a maximális ideáltér, amelyet C*-algebrai kontextusban A spektrumának is neveznek.

BidualEdit

Ha X egy normált tér, akkor az X ′ ′ duáljának X ′ (folytonos) duálját bidualnak, vagy X második duáljának nevezzük. Minden X normált térre létezik egy természetes leképezés,

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X”\\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\minden x\in X,\minden f\in X’\end{cases}}}}

Ez FX(x)-t mint folytonos lineáris függvényt definiálja X ′-n, azaz X ′′ egy elemén. Az FX : x → FX(x) leképezés egy lineáris leképezés X-ből X ′′-re. Az X-ben minden x-re vonatkozó f normáló függvény létezésének következményeként ez az FX térkép izometrikus, tehát injektív.

Például X = c0 duálisát ℓ1-gyel azonosítjuk, ℓ1 duálisát pedig ℓ∞-tel, a korlátos skaláris sorozatok terével. Ezen azonosítások alapján az FX a c0-ból a ℓ∞-be való befogadási térkép. Ez valóban izometrikus, de nem onto.

Ha FX szürjektív, akkor az X normált teret reflexívnek nevezzük (lásd alább). Mivel egy normált tér duálisa, az X ′′′ bidualis teljes, ezért minden reflexív normált tér Banach-tér.

Az FX izometrikus beágyazást használva szokás egy X normált teret a bidualis részhalmazának tekinteni. Ha X egy Banach-tér, akkor X ′′ zárt lineáris altérnek tekintjük. Ha X nem reflexív, akkor X egységgömbje X ′′ egységgömbjének megfelelő részhalmaza. A Goldstine-tétel kimondja, hogy egy normált tér egységgömbje gyengén* sűrű a bidual egységgömbjében. Más szóval, minden x ′′ a bidualban létezik egy {xj} háló X-ben úgy, hogy

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {\displaystyle \sup _{j}\|x_{j}\|\leq \|x”\|,\ \ \ x”(f)=\lim _{j}f(x_{j}),\quad f\in X’.}

A háló helyettesíthető egy gyengén*konvergens sorozattal, ha a duális X ′ elválasztható. Másrészt ℓ1 bidualisának olyan elemei, amelyek nincsenek ℓ1-ben, nem lehetnek ℓ1-ben lévő sorozatok gyenge*-korlátosai, mivel ℓ1 gyengén szekvenciálisan teljes.

Banach-tételekSzerkesztés

Itt vannak a Banach-térrel kapcsolatos főbb általános eredmények, amelyek Banach könyvének (Banach (1932)) idejére nyúlnak vissza, és a Baire-kategória tételéhez kapcsolódnak. E tétel szerint egy teljes metrikus tér (például egy Banach-tér, egy Fréchet-tér vagy egy F-tér) nem lehet egyenlő megszámlálhatóan sok üres belsejű zárt részhalmaz uniójával. Ezért egy Banach-tér nem lehet megszámlálhatóan sok zárt altér uniója, hacsak nem egyenlő már valamelyik zárt altérrel; egy megszámlálható Hamel-bázissal rendelkező Banach-tér véges dimenziós.

Banach-Steinhaus-tétel. Legyen X egy Banach-tér és Y egy normált vektortér. Tegyük fel, hogy F folytonos lineáris operátorok gyűjteménye X-ből Y-ba. Az egyenletes korlátosság elve azt mondja ki, hogy ha minden x-re X-ben supT∈F ||T(x)||Y < ∞, akkor supT∈F ||T||Y < ∞.

A Banach-Steinhaus-tétel nem korlátozódik a Banach-térre. Kiterjeszthető például arra az esetre, amikor X egy Fréchet-tér, feltéve, hogy a következtetést a következőképpen módosítjuk: ugyanezen hipotézis mellett létezik egy olyan U környéke 0-nak X-ben, hogy minden T F-ben egyenletesen korlátos U-n,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}

A nyitott leképezés tétele. Legyen X és Y Banach-tér és T : X → Y egy szürjektív folytonos lineáris operátor, akkor T egy nyílt leképezés. Következtetés. Minden egy-az-egyhez kötött lineáris operátor egy Banach-térből egy Banach-térre izomorfizmus. Az első izomorfizmus-tétel Banach terekre. Tegyük fel, hogy X és Y Banach-tér és T ∈ B(X, Y). Tegyük fel továbbá, hogy T tartománya zárt Y-ban. Akkor X/ Ker(T) izomorf a T(X)-el.

Ez az eredmény közvetlen következménye az előző Banach-izomorfizmus-tételnek és a korlátos lineáris leképezések kanonikus faktorizációjának.

Következtetés. Ha egy X Banach-tér M1, …, Mn zárt részterek belső egyenes összege, akkor X izomorf M1 ⊕ … ⊕ Mn-re.

Ez egy másik következménye a Banach-féle izomorfizmus-tételnek, amelyet az M1 ⊕ … ⊕ Mn-ről X-re történő folytonos bijekcióra alkalmazunk, amely (m1, …, mn)-t az m1 + … + mn.

A zárt gráftétel. Legyen T : X → Y egy Banach terek közötti lineáris leképezés. A T gráfja akkor és csak akkor zárt X × Y-ban, ha T folytonos.

ReflexivitásSzerkesztés

Az X normált teret akkor nevezzük reflexívnek, ha a természetes leképezés

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X”\\\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\forall x\in X,\forall f\in X’\end{cases}}}

szubjektív. A reflexív normált terek Banach-terek.

Tétel. Ha X reflexív Banach-tér, akkor X minden zárt résztere és X minden hányadostere reflexív.

Ez a Hahn-Banach-tétel következménye. Továbbá a nyílt leképezési tétel szerint, ha van egy korlátos lineáris operátor az X Banach-térből az Y Banach-térre, akkor Y reflexív.

Tétel. Ha X egy Banach-tér, akkor X akkor és csak akkor reflexív, ha X ′ reflexív. Következtetés. Legyen X egy reflexív Banach-tér. Akkor X szeparálható, ha és csak akkor, ha X ′ szeparálható.

Mert ha egy Y Banach-tér Y ′ duálisa szeparálható, akkor Y szeparálható. Ha X reflexív és szeparálható, akkor X ′ duálisa szeparálható, tehát X ′ szeparálható.

Tétel. Tegyük fel, hogy X1, …, Xn normált terek és X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Akkor X akkor és csak akkor reflexív, ha minden Xj reflexív.

A Gilbert terek reflexívek. Az Lp terek reflexívek, ha 1 < p < ∞. Általánosabban az egyenletesen konvex terek a Milman-Pettis-tétel szerint reflexívek. A c0, ℓ1, L1(), C() terek nem reflexívek. Az X nem-reflexív terek ezen példáiban az X ′′ bidiens “sokkal nagyobb”, mint X. Ugyanis X-nek a Hahn-Banach-tétel által adott természetes izometrikus X ′′-be ágyazása szerint az X ′′ / X hányados végtelen dimenziós, sőt nem szeparálható. Robert C. James azonban konstruált egy példát egy nem-reflexív térre, amelyet általában “James-térnek” neveznek és J-vel jelölnek, úgy, hogy a J ′′ / J hányados egydimenziós. Továbbá ez a J tér izometrikusan izomorf a bidualisával.

Tétel. Egy X Banach-tér akkor és csak akkor reflexív, ha az egységgömbje kompakt a gyenge topológiában.

Ha X reflexív, akkor ebből következik, hogy X minden zárt és korlátos konvex részhalmaza gyengén kompakt. Egy H Hilbert-térben az egységgömb gyenge tömörségét nagyon gyakran a következő módon használják: H-ban minden korlátos sorozatnak vannak gyengén konvergens részfolyamatai.

Az egységgömb gyenge tömörsége eszközt nyújt arra, hogy reflexív terekben bizonyos optimalizálási problémákra megoldást találjunk. Például egy reflexív tér B egységgömbjén minden konvex folytonos függvény eléri a minimumát B egy pontján.

Az előző eredmény speciális esete, hogy ha X egy R feletti reflexív tér, akkor minden X ′ -ben lévő f folytonos lineáris függvény eléri a maximumát || f || X egységgömbjén.

Robert C. James következő tétele fordított állítást ad. James tétele. Egy Banach-térre a következő két tulajdonság egyenértékű:

• X reflexív.
• Minden f-re X-ben ′ létezik x az X-ben úgy, hogy ||x|| ≤ 1, így f (x) = || f ||.

A tétel kiterjeszthető a gyengén kompakt konvex halmazok jellemzésére.

Minden X nem-reflexív Banach-téren léteznek olyan folytonos lineáris függvények, amelyek nem normatartóak. A Bishop-Phelps-tétel azonban azt állítja, hogy a normatartó függvények normasűrűek X ′ duálisában.

Sorozatok gyenge konvergenciájaSzerkesztés

Egy {xn} sorozat egy X Banach-térben akkor gyengén konvergens egy x ∈ X vektorhoz, ha f (xn) konvergál f (x) felé minden f folytonos lineáris függvényre az X ′ duálisában. A {xn} sorozat akkor gyenge Cauchy-sorozat, ha f (xn) konvergál egy skaláris határértékhez L( f ), minden f-re X ′-ben. A { fn } sorozat az X ′ duálban gyengén* konvergens egy f ∈ X ′ funkcionálhoz, ha fn (x) konvergál f (x)-hez minden x-re X ′-ben. A gyengén Cauchy-sorozatok, a gyengén konvergens és a gyengén* konvergens sorozatok a Banach-Steinhaus-tétel következményeként normával korlátozottak.

Ha az {xn} sorozat X-ben egy gyengén Cauchy-sorozat, akkor a fenti L határérték egy korlátos lineáris függvényt definiál a duális X ′-n, azaz, X bidualisának egy L eleme, és L a {xn} határértéke a bidualis gyenge* topológiájában. Az X Banach-tér akkor gyengén szekvenciálisan teljes, ha minden gyenge Cauchy-sorozat gyengén konvergens X-ben. Az előző tárgyalásból következik, hogy a reflexív terek gyengén szekvenciálisan teljesek.

Tétel. Minden μ mértékre az L1(μ) tér gyengén szekvenciálisan teljes.

Egy Hilbert-térben egy ortonormális sorozat egyszerű példája a gyengén konvergens sorozatnak, amelynek határértéke a 0 vektorral egyenlő. A ℓp, 1 < p < ∞, vagy a c0 egységvektor-alapja egy másik példa a gyengén nulla sorozatra, azaz olyan sorozatra, amely gyengén konvergál 0-hoz. Minden gyengén nulla sorozatra egy Banach-térben létezik az adott sorozatból származó vektorok konvex kombinációinak olyan sorozata, amely normakonvergens 0-hoz.

A ℓ1 egységvektor-alapja nem gyengén Cauchy. A ℓ1 gyengén Cauchy-sorozatok gyengén konvergensek, mivel az L1 terek gyengén szekvenciálisan teljesek. Valójában a ℓ1-ben a gyengén konvergens sorozatok normakonvergensek. Ez azt jelenti, hogy a ℓ1 kielégíti a Schur-tulajdonságot.

A ℓ1 bázist érintő eredményekSzerkesztés

A gyengén konvergens Cauchy-sorozatok és a ℓ1 bázis a H. P. Rosenthal következő mély eredményében megállapított dichotómia ellentétes esetei.

Tétel. Legyen {xn} egy korlátos sorozat egy Banach-térben. Vagy {xn}-nek van egy gyengén Cauchy-féle részsorozata, vagy a ℓ1 szabványos egységvektor bázisával ekvivalens részsorozatot enged meg.

Ez az eredmény kiegészítése Odell és Rosenthal (1975) munkája.

Tétel. Legyen X egy szeparálható Banach-tér. A következő tételek ekvivalensek:

• Az X tér nem tartalmaz ℓ1-gyel izomorf zárt altérséget.
• Az X ′′ bidualis minden eleme egy {xn} sorozat gyenge*határa X-ben.

A Goldstine-tétel szerint X ′′ B ′′ egységgömbjének minden eleme gyenge*határa egy hálónak X ′′ egységgömbjében. Ha X nem tartalmazza ℓ1-et, akkor B ′′ minden eleme gyenge*határa egy sorozatnak X egységgömbjében.

Ha az X Banach-tér szeparálható, akkor a gyenge*-topológiával ellátott X ′ duál egységgömbje egy K metrizálható kompakt tér, és az X ′ ′′ bidualis minden x ′′ eleme K-n egy korlátos függvényt definiál:

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . {\displaystyle x’\ in K\mapsto x”(x’),\quad \left|x”(x’)\right|\leq \left\|x”\right\|.}

Ez a függvény akkor és csak akkor folytonos K kompakt topológiája esetén, ha x ′′ valóban X-ben van, X ′′ részhalmazának tekintve. Tegyük fel továbbá a bekezdés további részében, hogy X nem tartalmazza ℓ1-et. Odell és Rosenthal előző eredménye alapján az x ′′ függvény egy {xn} ⊂ X folytonos függvényekből álló sorozat {xn} ⊂ X pontszerű határértéke K-n, tehát egy első Baire-osztályú függvény K-n. A bidualitás egységgömbje a K-n lévő első Baire-osztály pontszerű kompakt részhalmaza.

Sorozatok, gyenge és gyenge* kompaktságSzerkesztés

Ha X szeparálható, a duál egységgömbje Banach-Alaoglu szerint gyenge*kompakt és a gyenge* topológia szempontjából metrizálható, ezért a duálban minden korlátos sorozatnak gyenge* konvergens részsorozata van. Ez szeparálható reflexív terekre is érvényes, de ebben az esetben ennél több is igaz, ahogyan alább kifejtjük.

Egy X Banach-tér gyenge topológiája akkor és csak akkor metrizálható, ha X véges-dimenziós. Ha X ′ duálisa szeparálható, akkor X egységgömbjének gyenge topológiája metrizálható. Ez különösen szeparálható reflexív Banach-terekre érvényes. Bár az egységgömb gyenge topológiája általában nem metrizálható, a gyenge tömörséget szekvenciák segítségével jellemezhetjük.

Eberlein-Šmulián-tétel. Egy Banach-tér A halmaza akkor és csak akkor relatíve gyengén kompakt, ha A-ban minden {an} sorozatnak van gyengén konvergens részsorozata.

Egy X Banach-tér akkor és csak akkor reflexív, ha X-ben minden korlátos sorozatnak van gyengén konvergens részsorozata.

A ℓ1-ben lévő A gyengén kompakt részhalmaz normakompakt. Valóban, A-ban minden sorozatnak van Eberlein-Šmulian szerint gyengén konvergens részsorozata, amelyek a ℓ1 Schur-tulajdonsága szerint normakonvergensek.